1 Funktsiyaning differentsiali

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1. funksiyaning o’sish va kamayish oraliqlari topilsin.
Yechish: Funksiya da aniqlangan. Uning hosilasini topamiz. . Funksiyaning o’sish oraliqlarini topish uchun tengsizlikni yechamiz.
, , Bundan va .
Demak, berilgan funksiya da o’suvchi. Funksiyaning kamayish oralig’ini topish uchun yoki tengsizlikni yechamiz. Undan yoki . Demak, funksiya oraliqda kamayuvchi.
2. funksiyaning o’sish va kamayish oraliqlari topilsin.
Yechish: Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz.
.
hosila va da musbat, va da manfiy. Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi oraliqdan iborat ekanligini etiborga olib, funksiyaning oraliqda o’suvchi va oraliqda kamayuvchi ekanligini aniqlaymiz.
3.
funksiyaning o’sish va kamayish oraliqlari topilsin.
Yechish: Funksiya da differensiallanuvchi va

x ning barcha qiymaylarida . Demak, berilgan funksiya doimo o’smovchi funksiya ekan. oraliqda o’zgarmas va oraliqda qat’iy kamayuvchi.
4. funksiya x ning qanday qiymatida maksimumga erishadi.
Yechish: Bu yerda va qiymatlar uchun .
Demak, nuqtaning ixtiyoriy atrofida tengsizlik bajariladi. Shuning uchun funksiya nuqtada maksimum qiymatga erishadi.
5. funksiyaning eksrtemumlari topilsin:
Yechish: 1) Hosilani topamiz: ;
2) Hosilani nolga tenglab, tenglamaning ildizlarini topamiz:
, ,
Demak, kritik nuqtalar: , ;
3) Hosila mavjud bo’lmagan nuqtalar yo’q. Berilgan funksiyaning hosilasi hamma joyda aniqlangan va uzluksiz;
4) Sonlar o’qini kritik nuqtalar bilan , va oraliqlariga ajratamiz;
5) Endi nuqtadan chapdagi, ya’ni oraliqdagi nuqtani, masalan, nuqtani olamiz. Bu nuqtada Demak, nuqtaning chap tomonida hosila musbat; endi ning o’ng tomonida yotuvchi, ya’ni oraliqda yotuvchi nuqtani, masalan, nuqtani olamiz. Bu nuqtada Demak, oraliqda hosila manfiy.
Shunday qilib, hosila kritik nuqtaning chap tomonida musbat, o’ng tomonida esa, ya’ni oraliqda manfiy. Shuning uchun ham nuqtada funksiya maksimumga ega bo’lib, u ga teng.
Endi kritik nuqtaga o’tamiz.
6) nuqtaning chap tomonidagi oraliqda manfiy bo’lishini ko’rdik. nuqtaning o’ng tomonidagi nuqtani, ya’ni oraliqdagi nuqtani, masalan, nuqtani olamiz. . Demak, nuqtada funksiya minimumiga ega bo’lib, u ga teng.
6. funksiyaning ekstremumlari aniqlansin.
Yechish:1) Funksiyaning hosilasini topamiz:
;
2) Bu hosila x ning hech bir haqiqiy qiymatida nolga teng bo’lmaydi;
3) Hosila nuqtada mavjud emas. Shu bilan birga, nuqtada berilgan funksiya uzluksiz bo’lib, bu nuqta funksiya aniqlanish soxasining ichki nuqtasi bo’ladi. Shuning uchun nuqtada funksiya ekstremumga ega bo’lishi mumkin.
4) Koordinatalar (sonlar) to’g’ri chizig’ini nuqta yordamida ikkita va oraliqlarga ajratamiz.
5) 0 nuqtadan chapdagi, ya’ni oraliqdagi nuqtani, masalan, nuqtani olamiz. Bu nuqtada

Demak, 0 nuqtaning chap tomonida hosila manfiy bo’ladi. 0 nuqtaning o’ng tomonida yotuvchi, ya’ni oraliqda yotuvchi, masalan, nuqtani olamiz. Bu nuqtada

Demak, hosila 0 nuqtadan o’tishda o’z ishorasini manfiydan musbatga o’zgartiradi. Bundan berilgan funksiyaning nuqtada minimumga ega ekanligi kelib chiqadi va u

dan iborat bo’ladi.
8. funksiyaning ekstremumlari topilsin
Yechish: bo’lib undan va kritik nuqtalarni topamiz. nuqtadan o’tishda hosila ishorasini musbatdan manfiyga almashtiradi. Demak, bu nuqtada funksiya maksimumga ega. nuqtadan o’tishda esa funksiyaning hosilasi o’z ishorasini manfiydan musbatga almashtiradi. Demak, bu nuqtada funksiya minimumiga ega bo’ladi. va nuqtalardagi funksiyaning qiymatlarini hisoblab ekstremumlarini topamiz. Ular:
;
.
Endi berilgan funksiyaning ekstremumlarini ikkinchi tartibli hosila yordamida topamiz. Buning uchun ni topamiz va uni va nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz.
,
va . Demak, funksiya nuqtada maksimumga va nuqtada minimumga ega ekan. Ularni biz yuqorida topganmiz.
9. , parametrik tenglamalar bilan berilgan funksiyani ekstremumga tekshirilsin:
Yechish: va funksiyalar t parametrning har qanday qiymatlarida differensiallanuvchi, hamda

bo’lib, u da doimo musbat. Shuning uchun bo’lganda ni formula yordamida topish mumkin.



Demak, , .
ifoda doimo musbat bo’lgani uchun hosila faqat bo’lgandagina nolga teng bo’ladi. Demak, berilgan funksiya bo’lganda va bo’lganda bo’lgan ikkita kritik nuqtaga ega.
Agar argument nuqtaning chap tomonida bo’lsa, t parameter ham nuqtaning chap tomonida bo’ladi va bu holda bo’ladi hamda nuqtaning o’ng atrofida bo’ladi. Shuning uchun ham funksiya nuqtada minimumga ega bo’ladi.
Yuqoridagidek mulohaza yuritib, x ning ga mos keluvchi qiymatidan o’tishda hosila ishorasini manfiydan musbatga almashtirishini ko’rish mumkin. Demak, nuqtada funksiya minimum qiymatga ega.