1. Harakatdagi nuqta tezligini topish haqidagi masala

Ko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi

y=a^x (a>0, a1) ko‘rsatkichli funksiya uchun y=a^x+x -a^x=a^x(a^x-1) va .

Ma’lumki, . Shuning uchun= =a^xlna mavjud. Demak (a^x)’=a^xlna va d(a^x)’=a^xlnadx, xususan, (e^x)’=e^x va d(e^x)’=e^xdx formulalar o‘rinli ekan.

Ko‘rinib turibdiki, y=e^x funksiya ajoyib xossaga ega: uning hosilasi o‘ziga teng ekan.

9-chizma Misol. y=e^x funksiya grafigi Oy o‘qini qanday burchak ostida kesib o‘tadi?

Yechish. Funksiya grafigi Oy o‘qini (0;1) nuqtada kesib o‘tadi. Funksiya grafigiga shu nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini topamiz: y’=e^x va y’(0)=e⁰=1, bundan esa urinmaning Ox o‘qi bilan kattaligi /4 ga teng bo‘lgan burchak tashkil qilishi kelib chiqadi. U holda urinma Oy o‘qi bilan ham kattaligi /4 ga teng bo‘lgan burchak tashkil qiladi. 9-chizmada y=e^x funksiya grafigi berilgan, bunda funksiya grafigi x=0 nuqta atrofida y=x-1 to‘g‘ri chiziqqa urinadi.

Yuqoridagi misolda olingan natija e soniga quyidagicha ta’rif berishga imkon beradi: e soni deb ordinata o‘qini /4 burchak ostida kesib o‘tuvchi ko‘rsatkichli funksiyaning asosiga aytiladi.

a^u(x) (a>0, a1) funksiya uchun quyidagi formulalarning o‘rinli bo‘lishini ko‘rish qiyin emas: (a^u(x))’= a^u(x)u’(x)lna, d(a^u(x))= a^u(x)u’(x)lnadx.

Masalan, (3^5x-3)’=3^5x-3(5x-3)’ln3=53^5x-3ln3.

y=log_ax (a>0, a1, x>0) logarifmik funksiyaning hosilasi
Bu funksiya x=a^y funksiyaga nisbatan teskari funksiya bo‘lgani uchun teskari funksiyaning hosilasini topish qoidasiga ko‘ra ya’ni . Xususan, formula o‘rinli.

Bu formulalardan quyidagi muhim xulosani chiqarish mumkin: =0, ammo (log_ax)’ geometrik nuqtai nazardan y=log_ax funksiya grafigiga abssissasi x ga teng bo‘lgan nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientiga teng. Shunday qilib, =0, ya’ni =0, bu esa yyetarlicha katta x lar uchun urinma abssissalar o‘qiga «deyarli parallel» bo‘lishini anglatadi. Bu holni funksiya grafigini chizishda hisobga olish zarur.

log_au(x) funksiya uchun quyidagi formula o‘rinli: .
Trigonometrik funksiyalarning hosilalari

y=sinx funksiyaning hosilasi

Funksiyaning x nuqtadagi orttirmasini sinuslar ayirmasi formulasidan foydalanib topamiz: .

Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbati

ga teng. Bu tenglikda birinchi ajoyib limit va cosx funksiyaning uzluksizligini e’tiborga olgan holda limitga o‘tsak,

bo‘ladi.

Demak, (sinx)’=cosx formula o‘rinli.

y=cosx funksiyaning hosilasi

Bu funksiyaning hosilasini topish uchun cosx=sin(x+/2) ayniyat va murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasidan foydalanamiz. U holda (cosx)’=(sin(x+/2))’=cos(x+/2) (x+/2)’=cos(x+/2)1=cos(x+/2).

cos(x+/2)=-sinx ayniyatni e’tiborga olsak, quyidagi formulalarning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi: (cosx)’=-sinx.

y=sinx va y=cosx funksiyalarning hosilalarini quyidagi fizik mulohazalardan foydalanib ham keltirib chiqarish mumkin. Faraz qilaylik birlik aylanada burchak tezligi =1 rad/s bo‘lgan nuqta harakatlanayotgan bo‘lsin (10-chizma). Vaqtning boshlang‘ich momentida nuqta A₀, vaqtning t momentida A holatda bo‘lsin. U holda A₀A yoyning uzunligi t ga, A₀OA markaziy burchak t radianga teng bo‘ladi. Sinus va kosinusning ta’riflariga ko‘ra A nuqtaning ordinatasi sint, abssissasi esa-cost ga teng.

10-chizma Demak, A nuqtaning abssissa o‘qidagi proeksiyasi B nuqta x=sint qonuniyat bilan, ordinata o‘qidagi proeksiyasi S nuqta y=cost qonuniyat bilan harakat qiladi. Shu harakatlarning tezliklarini topamiz.

Ma’lumki, A nuqtaning chiziqli tezligi v=R formula bilan ifodalanadi. Bizning holimizda =1, R=1 bo‘lganligi sababli v=1 bo‘ladi. Chiziqli tezlikni ikkita- gorizontal va vertikal- tashkil etuvchilarga ajratamiz. A nuqta tezligining vektori , bu erda ||=1, aylanaga A nuqtada o‘tkazilgan urinma bo‘ylab yo‘nalgan. Shu sababli Ox o‘qi bilan t+/2, Oy o‘qi bilan t burchak tashkil qiladi. Demak, uning Ox o‘qiga proeksiyasi (ya’ni B nuqtaning tezligi) v_x=cos(t+/2)=-sint ga, Oy o‘qiga proeksiyasi v_y=cost ga teng bo‘ladi.

Tezlik yo‘ldan vaqt bo‘yicha olingan hosila bo‘lganligi, B nuqtaning harakat qonuni x=cost, tezligi v_x=-sint ekanligini e’tiborga olsak, (cost)’=-sint degan xulosaga kelamiz.

Shunga o‘xshash, S nuqtaning harakat qonuni y=sint, tezligi v_x=cost ekanligini e’tiborga olsak, (sint)’=cost degan xulosaga kelamiz.
y=tgx va y=ctgx funksiyalarning hosilalari.

Ushbu funksiyalarning hosilalarini topish uchun bo‘linmaning hosilasini topish qoidasidan foydalanamiz:

.
Xuddi shunga o‘xshash formulani ham keltirib chiqarish mumkin. 11-chizma

Trigonometrik funksiyalarning argumentlari x erkli o‘zgaruvchining u(x) funksiyasi bo‘lsa, u holda murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasiga ko‘ra quyidagi formulalar o‘rinli bo‘ladi:

(sinu)’=u’cosu, (cosu)’=-u’sinu, .

Misol. y=sinx funksiya grafigi koordinatalar boshida Ox o‘qi bilan qanday burchak tashkil etadi?

Yechish. Buning uchun y=sinx funksiya grafigiga abssissasi x=0 bo‘lgan nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini topamiz: y’=cosx, demak f’(0)=cos0=1, burchak koeffitsienti tg=1, bundan izlanayotgan burchak /4 ga teng.

Misol. y=tgx funksiya grafigi koordinatalar boshida Ox o‘qi bilan qanday burchak tashkil etadi?

Yechish. Buning uchun y=tgx funksiya grafigiga abssissasi x=0 bo‘lgan nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini topamiz: y’=(tgx)’=sec²x, demak f’(0)=sec²0=1, burchak koeffitsienti tg=1, bundan izlanayotgan burchak /4 ga teng.

Bu misollarda olingan natijalarni y=sinx va y=tgx funksiya grafiklarni chizishda e’tiborga olish kerak. Rasmlarda y=sinx va y=tgx funksiya grafiklari keltirilgan. Bu funksiya grafiklari koordinatalar boshida y=x to‘g‘ri chiziqqa urinadi.