1. Hosila yordamida funksiyani ekstremumda tekshirish. Hosila yordamida funksiyani grafigini yasash

MAVZU: BIRINCHI VA IKKINCHI TARTIBLI XOSILA YORDAMI FUNKSIYA GRAFIKASI YASASH.

REJA

1. Hosila yordamida funksiyani ekstremumda tekshirish.
2. Hosila yordamida funksiyani grafigini yasash.
3. BIRINCHI VA IKKINCHI TARTIBLI XOSILA YORDAMI FUNKSIYA GRAFIKASI YASASH.

Funksiyani tekshirish va grafigini yasash quyidagi umumiy chizma bo‘yicha bajariladi:

1) Funksiyaning aniqlanish sohasi topiladi.
2) Funksiya juft, toqligi yoki juft ham emas, toq ham emasligi aniqlanadi. Agar funksiyaning juft yoki toqligi aniqlansa, funksiyani musbat yoki manfiy haqiqiy sonlar yarim o‘qida tekshirish yetarli.
Agar funksiya juft bo‘lsa, bu funksiyaning grafigi Oy o‘qiga nisbatan simmetrik, toq bo‘lsa koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.
3) Davriy yoki davriy emasligi aniqlanadi. Davriy funksiyani bir davr oralag‘ida tekshirish yetarli.
4) Funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalari topiladi. Ox o‘qi bilan kesishish nuqtalari chizma, Oy o‘qi bilan kesishish nyqtalari esa chizmani yechish bilan topiladi. Funksiya grafigining asimptotalari quriladi.
5) Uzilish nuqtalari aniqlanadi va ularning atrofida funksiyaning o‘zini tutishi tekshiriladi. Funksiyanig og’ma asimptotasi tekshiriladi.
6) Funksiyaning o‘sish va kamayish intervallari, maksimum va minimum nyqtalari topiladi.
7) Funksiya grafigining qavariqligi va egilish nuqtalari topiladi.
8) Yig‘ilgan ma’lumotlar jadval ko‘rinishida tuziladi.
9) Funksiya grafigi yasaladi.
27.1. Quyidagi berilgan funksiyani tekshirib, grafigini chizing:
berilgan funksiya D={(-∞;-1) (-1;1) (1;+ ∞)} to‘plamda aniqlangan.
Bu funksiya uchun f(-x)=f(x) bo‘lganidan u juftdir va uni [0;+∞] oraliqda tekshirish kifoya.
Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari:
Birinchi tartibli hosila [0;+∞) oraliqning x=1 nuqtasidan boshqa barcha nuqtalarida aniqlangan va x=0 nuqtada nolga aylanadi. Ikkinchi tartibli hosilaning x=0 nuqtadagi qiymati ?``(0) =-4<0, shuning uchun ?(x) funksiya x=0 nuqtada maksimumga ega va bu maksimum qiymat f(0)= -1 bo‘ ladi.
Endi (0;1) va (1;+ ∞) da ?`(x)<0 bo‘lganidan bu to‘plamda ?(x) ning kamayuvchiligi kelib chiqadi. So‘ngra:
bo‘lgani uchun x=±1 (funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtalari) to‘g‘ri chiziqlar vertical asimptotalar ekanligini va limitlarga ko‘ra y=1 gorizontal to‘g‘ri chiziq ?(x) funksiya grafigining asimptotasi ekanligini hosil qilamiz.
Endi 1+3x<sup>2</sup>=0 tenglama xaqiqiy sonlar o‘qida yechimga ega bo‘lmaganligi sababli funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi nolga teng bo‘lmasligi, ya’ni egilish nuqtasi yo‘qligi kelib ciqadi. Ikkinchi tartibli hosilaning qiymatlari [0; 1) da ?``(x)>0, (1; + ∞) da ?``(x)<0. Demak, funksiya grafigi (-1; 1) da qavariq, hamda va (1; +∞) da botiq bo‘ladi.
Faraz qilaylik, funksiya X oraliqda ( ) berilgan bo’lsin. Mahlumki, ixtiyoriy bo’lsa, funksiya X da o’suvchi, ixtiyoriy bo’lsa, funksiya X da kamayuvchi deyiladi.
Monotonlikning zaruriy shartlari:

1. 
   Agar oraliqda differensiallanuvchi funksiya o’suvchi bo’lsa, u holda .
   
2. 
   Agar oraliqda differensiallanuvchi funksiya kamayuvchi bo’lsa, u xolda .
   Monotonlikning yetarlilik shartlari:
   

1. Agar da differensiallanuvchi funksiya musbat hosilaga ega bo’lsa, ya’ni , u holda funksiya shu oralikda o’suvchi funksiya bo’ladi.

1. 
   Agar da differensiallanuvchi funksiya manfiy hosilalga ega bo’lsa, ya’ni , u holda funksiya shu oralikda kamayuvchi funksiya bo’ladi.
   

Funksiyaning birinchi tartibli hosilasi nolga teng yoki hosilasi mavjud bo’lmaydigan nuqtalarni kritik nuktalar deyiladi.

Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo’lsaki, bu atrofning har qanday nuqtasi uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya nuqtada maksimumga (minimumga) erishadi deyiladi. qiymat ning maksimum (minimum) qiymati deb ataladi .
Funksiyaning maksimum va minimumi umumiy nom bilan uning ekstremumi deyiladi.