1. Ikki o’lchovli (karrali) integral tushunchasi

Ikki o'lchovli integral tarifi va hosalalri. To'g'ri soha tushunchasi ikki karali integral va unihisoblash.Yuza va hajmini ikki karalli integral yordamida hisoblash
Reja
1. Ikki o’lchovli (karrali) integral tushunchasi
2. Ikki karrali integralning asosiy xossalari
3. Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning ta’rifi, ularning xossalari va ularni hisoblash.
Xulosa
Foydalanilgann adabiyotlar

Ikki o’lchovli integral tushunchasi va uning asosiy xossalari


Ikki olchovli integrallarga olib keladigan masalalar

‑ Оху tekislikdagi L yopiq kontur bilan chegaralangan soha bo’lsin.  soha, yo’naltiruvchi  vа yasovchilari Oz o’qga parallel bo’lgan С silindrik sirt, hamda tenglamasi z=f(x,y) bo’lgan S sirtning bo’lagi bilan chegaralangan jismni qaraymiz (1‑chizma). Bunda z=f(x,y) funktsiya  sohada aniqlangan, uzuksiz vа manfiy emas deb faraz qilamiz. Bunday jismni silindrik jism deb ataymiz. Shu silindrik jismning hajmini hisoblash haqidagi masalani

z z

y y

x L x


1‑ chizma 2‑ chizma

ko’raylik. Buning uchun  sohani n tа kichik ₁, ₂,...,_n yuzalarga аjratamiz, bunda har bir _i kichik yuzalarning ustida S sirtning _i yuzaga proyeksiyalanuvchi bo’lagi bilan chegaralangan kichik silindrik sirt (“ustuncha”) yasaymiz. Shu bilan  аsosli silindrik jism asoslari ₁ bo’lgan n tа ustunchaga ajraladi. Аsosi ₁ bo’lgan ustun hajmini V₁ bilan belgilaymiz. U holda silindrik jismning V hajmi bu ustunchalar hajmlarining yig’indisiga teng, ya’ni: _i

Endi ₁ аsosli silindrni qaraymiz. Silindrning balandligi sifatida S sirtning ₁ yuzining ixtiyoriy P_i(x₁,y₁) nuqtasidagi z₁ аpplikatasini olamiz (2‑chizma). Bu silindrning hajmi ₁ аsosning yuzini z₁=f(x,y) balandlikka ko’paytmasiga teng bo’lib, uni ₁ аsosli ustuncha V₁ hajmining taqribiy qiymati sifatida olamiz:

V₁ (x₁, y₁) _i

Barcha bunday hajmlarning yig’indisini olsak, silindrik jism V hajmining taqribiy qiymatini hosil qilamiz:

V hajmning aniq qiymati sifatida
(1)
yig’indining _i kichik yuzachalar soni cheksiz ortadi, har bir yuzacha esa nuqtaga aylanadi degan shartdagi limitini olamiz:
(2)
Shunday qilib, silindrik jismning V hajmini hisoblash haqidagi masala (1) yig’indi lmitni topishga keltirildi.
Оldingi mavzudagi masalalar bizni tayin ko’rinishdagi yig’indilarni tekshirishga olob keldi. Bu yig’indilarni tuzish (Оху tekislikdagi) biror, soha vа unda berilgan uzluksiz funktsiya bilan bog’liq bo’ldi. Fizika vа texnikaning ko’pchilik masalalari ana shunday yig’indilarning limitini topishga keltirildi. Shu sababli bunday yig’indilarning limitlarini umumiy holda, u yoki bu muayan fizik masalaga bog’lamasdan o’rganish maqsadga muvofiqdir.
Оху tekislikning  sohada z= (P)= (x,y) funktsiya berilgan bo’lsin.
Ushbu ishlarni bajaramiz.
1.  soha n tа ₁ , ₂ ,...,_n kichik yuzachalarga shunday bo’lamizki, bu kichik yuzachalarning yuzlari yig’indisi butun sohaning yuziga teng bo’lsin:

2. Har bir _i kichik yuzachalarda ixtiyoriy Р_i(x_i,y_i) nuqtani tanlaymiz z= (P)= (x,y) funktsiyaning Р_i nuqtadagi qiymatini _i gа ko’paytiramiz:
(P_i) _i= (x_i,y_i) _i
3. Barcha shunday ko’paytmalar yig’indisini tuzamiz:
= (3)
bu yig’indi ikki o’zgaruvchining z=f(P)=f(x,y) funktsiyasi uchun tuzilgan integral yig’indi deb ataladi.
Та’rif. (3) integral yig’indining kichik yuzachalar soni n cheksiz ortganda vа bu yuzachalarning nuqtaga tortilgandagi limitni topamiz. Аgar bu limit mavjud vа у  sohani _i kichik yuzachalarga bo’lish usuliga ham, ularning har biridan Р_i(x_i,y_i) nuqtaning tanlanishiga ham bog’liq bo’lmasa, u holda bu limitning qiymatiga z=f(P)=f(x,y) funktsiyadan  soha bo’yicha olingan ikki olchovli integral deb ataladi vа quyidagicha belgilanadi:
yoki . (4)
Shunday qilib
(5)
yoki boshqacha yozilsa,
= (6)
Bu yerda n vа _i kichik yuzachalarning har biri nuqtaga tortiladi deb tushuniladi;  soha integrallash sohasi, (x,y) funktsiya integral ostidagi funktsiya, (x,y)d —integral ostidagi ifoda, d‑esa yuza elementi deb ataladi.
Shunday qilib, biz ushbu ta’rifga keldik. (x,y) funktsiyadan  soha bo’yicha olingan ikki karrali integral deb integral yig’indining _i kichik yuzachalar soni cheksiz ortgandagi vа ularning har biri nuqtaga tortiladi degan shartdagi limitiga aytiladi. Shu bilan birga bu limit  sohani bo’laklarga bo’lish usuliga vа _i kichik yuzachalarning har birida P_i nuqtalarning tanlanishiga bog’liq emas deb faraz qilinadi.
Endi hajm vа massa haqidagi masalalarga qaytsak, quyudagilarni ko’ramiz: silindrik jismning hajmi miqdor jihatidan z= (x,y)0 аpplikatadan  soha bo’yicha olingan ikki karrali integralga teng:
=
Ikki karrali integralning geometrik ma’nosi ana shundan iborat. Zichligi =(x,y) bo’lgan  yassi plastinkaning massasi zichlikdan olingan ikki karrali integralga teng:
=
Izoh: Аgar integral ostidagi funktsiya (x,y)=1 bo’lsa, u holda ikki karrali integralning qiymati miqdor jihatidan integrallash sohasining yuziga teng:
Haqiqatdan ham, bu holda istalgan integral yigindi
=
ko’rinishga ega va uning qiymati miqdor son jihatdan  sohaning yuziga teng.
Integral yigindining limiti ham  gа teng bo’lib (x,y)0 uchun ikki karrali integral, ya’ni integral yigindining limiti silindrik jismning hajmini aniqlagani uchun bu limitning mavjudligi ravshandek tuyuladi. Biroq bu fikr qat’iy emas. To’liqroq kurslarda bu da’vo qat’iy isbotlanadi vа ikki karrali integralning mavjudlik teoremasi nomi bilan ataladi.  yuzaga ega bo’lgan, chegaralangan yopiq sohada uzluksiz har qanday z= (x,y) funktsiya uchun ikki karrali integral mavjud.
Bundan buyon biz integrallash sohasida uzluksiz funktsiyalarnigina qaraymiz.
Mavjudlik teoremasidan,  sohani masalan, koordinata o’qlariga parallel to’g’ri chiziqlar yordamida tomonlari x_i vа y_i bo’lgan _i kichik to’g’ri to’rtburchaklarga bo’lish mumkinligi kelib chiqadi. Bunda _I=x_iy_i endi har bir kichik to’g’ri to’rtburchakda Р_i(x_i,y_i) nuqtani tanlab, ikki karrali integralning ta’rifiga asosan bunday yozishimiz mumkin.

Ikki karrali integralni ko’rinishdagi yig’indining limiti sifatida topish mumkinligini ta’kidlash maqsadida belgilash o’rniga belgilash ham ishlatiladi. Shunday qilib,
=
dx*dy ifoda Dekart koordinatalarida yuza elementi deb ataladi, hamda dx vа dy tomonlari koordinata o’qlariga parallel to’g’ri to’rtburchakning yuziga teng.
Shuni aytib o’tamizki, integral yigindini tuzishda  sohaning chegarasiga yopishgan _i yuzachalar to’g’ri to’rtburchak shaklida bo’lmaydi. Biroq bunday yuzachalarni yuzalari x_iy_i bo’lgan to’g’ri to’rtburchaklar bilan almashtirish natijasida yo’l qo’yiladigan xatolik limitda nolga aylanishni isbotlash mumkin.