1. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

1. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

MAVZU: Ikki o'zgaruvchili funksiyalarning yuqori tartibli hosila va differensiallari
REJA:
1. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari.
2. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient.
3. Ikki o‘zgaruvchili funksiya differensiallari va ularning tatbiqlari.
4. Yuqori tartibli differensiallar.
Bir o‘zgaruvchili funksiya xususiyatlarini o‘rganishda va juda ko‘p masalalarni yechishda funksiyaning hosilasi muhim ahamiyatga ega ekanligini ko‘rib o‘tgan edik. Shu sababli bu tushunchani ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ham aniqlash masalasi bilan shug‘ullanamiz. Bunda ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun kiritiladigan tushunchalar va keltiriladigan tasdiqlar deyarli o‘zgarishsiz ikkidan ortiq o‘zgaruvchili funksiyalar uchun ham umumlashtirilishi mumkinligini yana bir marta ta’kidlab o‘tamiz.

• 
  Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Bir o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi ∆f funksiya orttirmasining ∆x argument orttirmasiga nisbatining ∆x→0 bo‘lgandagi limiti kabi aniqlanishini eslatib o‘tamiz. Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ham hosila tushunchasini shunday tarzda kiritamiz.
  Berilgan z=f(x,y) funksiya biror D sohada aniqlangan va M(x,y) shu sohaning ichki nuqtasi bo‘lsin. Bu nuqtaning x abssissasiga x orttirma berib, y ordinatani o‘zgartirmay qoldiramiz. Bunda hosil bo‘ladigan N(x +x,y) nuqta ham D sohaga tegishli deb hisoblaymiz. Bu holda z=f(x,y) funksiyaning o‘zgarishi
  x f = f (x+x , y) – f (x, y),
  ya’ni x argument bo‘yicha xususiy orttirma orqali ifodalanadi.
  

1-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning х bo‘yicha х f xususiy
orttirmasining x argument orttirmasiga nisbati x→0 bo‘lganda chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit qiymati funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasi deb ataladi.
Bu hosila
kabi belgilardan biri bilan belgilanadi. Bunda indeks yoki maxrajdagi x belgi hosila x argument bo‘yicha olinayotganligini ifodalaydi. Ta’rifga ko‘ra
(1)
Bu yerda x f xususiy orttirma faqat x hisobiga o‘zgarib, unda y o‘zgarmas bo‘ladi. Shu sababli
xususiy hosila bir x o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi singari aniqlanadi. Bundan z=f(x,y) funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasini hisoblashda ikkinchi y o‘zgaruvchini o‘zgarmas son kabi qarash kerakligi va oldin ko‘rib o‘tilgan hosilalar jadvali hamda differensiallash qoidalaridan foydalanish mumkinligi kelib chiqadi.
Masalan,
.
Xuddi shunday tarzda z = f (x,y) funksiyaning
kabi belgilanadigan у bo‘yicha xususiy hosilasi kiritiladi:
. (2)
Yuqoridagi misolda x o‘zgaruvchini o‘zgarmas deb qarab, y bo‘yicha xususiy hosilani hisoblaymiz:
Yana bir misol sifatida
funksiyaning xususiy hosilalarini hisoblaymiz:
.
Bir o‘zgaruvchili funksiya hosilasining gеomеtrik mazmuniga o‘xshash ikki o‘zgaruvchili z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalarining ham gеomеtrik mazmuni mavjud. Yuqorida aytilgandek, bu funksiya grafigi biror S sirtni ifodalaydi. Bu sirtga tegishli M0(x0, y0) nuqtani qaraymiz. Bu holda f(x,y0)=φ(x) bir o‘zgaruvchili funksiya bu S sirtni y=y0 tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan biror L chiziqni ifodalaydi. Shu sababli x bo‘yicha xususiy hosilaning
son qiymati L chiziqqa M0(x0, y0) nuqta o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini ifodalaydi.
Demak,
bo‘lib, bunda α burchak S sirtni y=y0 tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan L chiziqqa M0(x0, y0) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning OX koordinata o‘qi bilan hosil etgan burchakni ifodalaydi. Xuddi shunday,
soni S sirtni x=x0 tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan G chiziqqa M0(x0, y0) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini ifodalaydi.
Bir o‘zgaruvchili funksiya M0(x0) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, unda bu nuqtada uzluksiz bo‘lar edi. Ammo ikki o‘zgaruvchili funksiyaning M0(x0, y0) nuqtada
xususiy hosilalari mavjudligidan uni bu nuqtada uzluksizligi har doim ham kelib chiqmaydi.
Masalan,
funksiya O(0,0) nuqtada uzlukli (§1, (7) ga qarang) ekanligini ko‘rgan edik.
Ammo f(x,0)≡0 va f(0,y)≡0 bo‘lgani uchun bu funksiyaning O(0,0) nuqtada ikkala
xususiy hosilalari mavjud va
,
bo‘ladi.
Berilgan z=f(x,y) funksiyaning
xususiy hosilalari mavjud bo‘lsin. Bu holda ular х vа у o‘zgaruvchilarning funksiyalari bo‘ladi va shuning uchun ulardan yana xususiy hosilalar olish mumkin. Agar bu xususiy hosilalar mavjud bo‘lsa, unda
z=f(x,y) funksiyaning х vа у argumentlari bo‘yicha II tartibli xususiy hosilalari,
esa z=f(x,y) funksiyaning II tartibli aralash hosilalari deyiladi. Shunday qilib jami 4 ta II tartibli hosilalarga ega bo‘lamiz.
Masalan,
funksiyaning I tartibli xususiy hosilalari
bo‘lgani uchun uning II tartibli hosilalari quyidagicha bo‘ladi:
Yana bir misol sifatida yuqorida ko‘rib o‘tilgan
funksiyaning II tartibli hosilalarini topamiz:
Bu misollarda II tartibli aralash hosilalar o‘zaro teng, ya’ni
ekanligini ko‘ramiz. Ammo bu tenglik barcha funksiyalar uchun o‘rinli bo‘lishi shart emas. Masalan, ushbu funksiyani qaraymiz:
Bu funksiyani x bo‘yicha xususiy hosilasini hisoblab, quyidagi natijani olamiz:
Bu yerda x=0 deb,
natijaga kelamiz. Xuddi shunday tarzda
ekanligini ko‘rish mumkin. Demak, bu funksiya uchun O(0,0) nuqtada II tartibli aralash hosilalar o‘zaro teng emas.
Ammo ma’lum bir shartlarni qanoatlantiradigan funksiyalar uchun yuqoridagi misollarda ko‘rilgan aralash hosilalar tengligi o‘rinli bo‘ladi.
1-TEOREMA: Agar z=f(x,y) funksiya va uning
hosilalari М(х,у) nuqta va uning biror atrofida aniqlangan, bu nuqtada II tartibli
aralash hosilalar uzluksiz bo‘lsa, unda aralash hosilalar bu nuqtada o‘zaro teng, ya’ni
bo‘ladi.
Bu teorema aralash hosilalar haqidagi teorema deb ataladi va uni isbotsiz qabul qilamiz.
O‘z navbatida z=f(x,y) funksiyaning II tartibli hosilalaridan yana xususiy hosilalar olib (ular mavjud bo‘lgan taqdirda), quyidagi 8 ta III tartibli hosilalarga ega bo‘lamiz:
.
Bu jarayonni davom ettirib, ikki o‘zgaruvchili funksiyalar uchun 2n ta n- tartibli hosilalarni n–1-tartibli hosilalar orqali birin-ketin aniqlab borish mumkin.
Ikki o‘zgaruvchili funksiya xususiy hosilalarining iqtisodiy tatbig‘iga doir bir misol qaraymiz. Yo‘lovchilar soni z bilan aholi soni x va shaharlar orasidagi masofa y o‘zaro z=x2/y ikki o‘zgaruvchili funksiya ko‘rinishida bog‘langan. Bu holda xususiy hosila shaharlar orasidagi masofa y bir xil bo‘lganda yo‘lovchilar sonini oshishi x aholi soniga k=2 koeffitsiyent bilan to‘g‘ri proporsional bog‘langanligini ifodalaydi. xususiy hosiladan esa aholi soni x o‘zgarmaganda yo‘lovchilar sonini oshishi shaharlar orasidagi y masofaning kvadratiga teskari proporsional bo‘lishi kelib chiqadi .