10-mavzu: Yuqori tartibli hosilalar. Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma’nosi. Dars rejasi

10-mavzu: Yuqori tartibli hosilalar. Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma’nosi.


Dars rejasi:

1. 
   Murakkab funksiyaning hosilasi.
   
2. 
   Teskari funksiyaning hosilasi.
   
3. 
   Yuqori tartibli hosila va differensiallar.
   

Teskari funksiyaning hosilasi
Aytaylik, funksiya da berilgan bo’lib, u teskari funksiyaga ega bo’lsin. Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lib, bo’lsa, teskari funksiya ham nuqtada hosilaga ega va bo’ladi.
Yuqori tartibli hosilalar.
Agar f funksiyaning hosilasi yana hosilaga ega bo‘lsa, u holda funksiyaning hosilasi kabi belgilanadi va f funksiyaning ikkinchi hosilasi deyiladi(ikkinchi tartibli hosila). Hosila olish mumkin bo‘laversa, yana hosila olishda davom etib, f funksiyaning uchinchi, to‘rtinchi vaxokazo hosilalarini topishimiz mumkin. Bu hosilalar ketma-ket quyidagicha belgilanadi:
, , , , , …
Ular mos ravishda, birinchi, ikkinchi, uchinchi vaxokazo hosilalar deyiladi. Uchinchi hosiladan keyingilarida hosila belgisi murakkablashib boradi. SHu sababli, butun sonlarni qavs ichiga olib belgilaymiz. Bunday belgilashda, yuqori tartibli hosilalar qulay belgilanadi:
, bu f funksiyaning n-tartibli hosilasi.
1-misol. Ko‘phadning yuqori tartibli hosilalari.
Agar beshinchi darajali

ko‘phad berilgan bo‘lsa, uning yuqori tartibli hosilalari topilsin.
Yechish. Birinchi tartibli hosila quyidagicha:


Ikkinchi tartibli hosila quyidagicha:


Uchinchi tartibli hosila quyidagicha:


To‘rtinchi tartibli hosila quyidagicha:


Beshinchi tartibli hosila quyidagicha:


oltinnchi tartibli hosila nolga teng bo‘ladi, chunki, beshinchi tartibli hosila o‘zgarmas sondan iborat.


Oltinchi tartibli hosila va undan yuqori barcha hosilalar ham nolga teng.¹
Agar funksiya uchun oraliqning har bir nuqtasida hosila mavjud bo'lsa, u holda oraliqda yangi funksiyani hosil qilamiz. Bu funksiya nuqtada hosilaga ega bo'lsa, u holda nuqtada funksiya ikkinchi tartibli hosilaga ega deyilib, bu xossa

shaklda belgilanadi. Demak, ikkinchi tartibli hosila, quyidagi tenglik orqali topilar ekan.

Xuddi shuningdek funksiya uchun uchinchi, to'rtinchi va n- tartibli hosilani aniqlash mumkin. Umumiy holda, agar funksiya uchun oraliqning har bir nuqtasida tartibli hosilaga ega bo'lib, mana shu hosil bo'lgan funksiyani deb belgilasak o'z navbatida funksiya nuqtada hosilaga ega bo'lsa, bu hosila funksiyaning nuqtadagi -tartibli hosilasi deyiladi. -tartibli hosilani quyidagi ko'rinishlarda ifoda etish mumkin.

Demak ta'rifga, ko'ra -tartibli hosila

tenglik orqali aniqlanar ekan. Bu tenglikni umumiy holda kuyidagicha yozishimiz mumkin

bu erda .
Yuqori tartibli hosila uchun quyidagi tengliklar o'rinli bo'ladi.

Bu tengliklarni barchasini matematik induktsiya usuli bilan isbot qilish mumkin. 4-tenglik Leybnits formulasi deb nomlanadi.
Endi ayrim elementar funksiyalarning yuqori tartibli hosilalarini keltiramiz. Bu formulalar ham matematik induktsiya usuli bilan isbot qilinadi.

1. 
   , -istalgan haqiqiy son. Agar natural son bo'lsa, uchun uchun .
   
2. 
   , xususan
   
3. 
   
   
4. 
   
   

Matematika tadbiqida asosan taqribiy hisoblashlar qo'llaniladi. Taqribiy hisoblashlarning muhum manbai bo'lib, funksiya differentsiali hisoblanadi. Biz mana shu tushuncha bilan tanishamiz.
funksiya nuqtaning biron-bir atrofida berilgan bo'lib, nuqtada uzluksiz, yani bo'lsin. Agar va deb belgilashlar kiritsak, argument orttirmasi, esa shu orttirmaga mos keluvchi funksiya orttirmasi bo'lib, yuqoridagi limit munosabatini quyidagicha yozish mumkin:

Ta'rif. Agar da, funksiya orttirmasi ni quyidagi ko'rinishda ifodalash mumkin bo'lsa,
(1)
bu yerda o'zgarmas son, , u holda funksiya nuqtada differensiallanuvchi deyiladi va funksiyaning nuqtadagi differensiali ga teng deb ataladi. Bu differensial shaklida belgilanadi.
Izox. funksiya uchun tenglik kabi ifoda etiladi va funksiya da, ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik funksiya deyiladi. Masalan da bo'ladi, chunki yoki da bo'ladi, sababi

tenglik o'rinlidir. Xuddi shunga o'xshash da , va x.k.
Agar (1) tenglikni ga bo'lib da limitga o'tsak quyidagini hosil qilamiz:

Bu tenglikdan, funksiyaning nuqtada hosilasi mavjud bo'lib, ekanligi kelib chiqar ekan. Demak, funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, bu nuqtada funksiya hosilasi ham mavjud bo'lar ekan.
Agar funksiya intervalning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo'lsa, funksiya intervalda differensiallanuvchi deyiladi.
Demak,
.
(4) tenglikga tayanib asosiy elementar funksiyalarning differensiali va differensiallash qoidalarini kelitiramiz.