1. Ikkinchi va uchinchi tartibli detereminantlar. Detereminantning xossalari

1-Ma’ruza
Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar. Determinantni hisoblash usullari. n- tartibli determinant haqida tushuncha.Matritsa tushunchasi. Matritsa ustida amallar. Teskari matritsa va uni tuzish. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari.
Reja:
1.Ikkinchi va uchinchi tartibli detereminantlar.
2.Detereminantning xossalari.
3.n-tartibli deteriminantlarni hisoblash.

Determinant tushunchasi. Dеtеrminаnt – bеrilgаn sonli jаdvаl elеmеntlаri asosida maxsus qoida bo’yicha hisoblanadigan sоn bo’lib, jаdvаlning tаrtibigа qаrаb, uni hisоblаsh qоidаsi aniqlanadi.
Ixtiyoriy haqiqiy sonni birinchi tartibli dеtеrminаnt deb qarash mumkin.
2-tаrtibli dеtеrminаnt: .
Misоl. Quyidagi ikkinchi tartibli determinantlarni hisoblang.
a) =35–(-4)2=15+8=23 . b) = –(-1)a=a+a=2a.
3- tаrtibli dеtеrminаnt :
Uchburchak qoidasi: Hisоblаshni sоddаlаshtirish mаqsаdidа dаstlаbki uchtа qo’shiluvchi vа kеyingi uchtа аyiriluvchilаr mоs rаvishdа quyidаgi sхеmа bo’yichа
hisоblаnаdi:
Misоl. Berilgan uchinchi tartibli determinantning hisoblanishiga e’tibor bering.
a)
tаrtibli dеtеrminаnt:
Bunday dеtеrminаntlarni hisоblаsh qоidаsini kеyinrоq kеltirаmiz.
n-tartibli A matritsaning i-satr va j-ustunini o’chirishdan hosil bo’lgan - tartibli determinantga A matritsa elementining minori deb aytiladi.
Masalan, uchinchi tartibli A matritsa elementining minori A matritsadan 2-satr va 3-ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan son, ya’ni:
.
n-tartibli A matritsaning elementining algebraik to’ldiruvchisi deb uning minorini ga ko’paytirilganiga aytiladi, ya’ni

Algebraik to’ldiruvchining ta’rifidan foydalanib, determinantni quyidagi hisoblash mumkin:


Bu yerda
;
n–tartibli kvadrat A= matritsa determinanti:
.
Bu formulani qisqacha quyidagicha yoziladi: = .
Bu yerda  A matritsadan 1- satr va j-ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan - tartibli determinantlar-minorlar.
Misol. Berilgan A = matritsa determinantini hisoblang.
Yechish: Determinantni matritsa birinchi sart elementlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz.

= -5 + 18 + 6 = 19.

Faqatgina kvadrat matritsalar uchun, ya’ni satrlari va ustunlari soni teng bo’lgan matritsalar uchungina determinant aniqlangan.

Determinantning xossalari.
1-xossa. Determinantning biror satri (yoki ustuni) nollardan iborat bo’lsa, bu determinantning qiymati nolga teng.

2-xossa. Determinantning qiymatini biror songa ko’paytirish uning biror satri (ustuni) elementlarini shu songa ko’paytirishga teng kuchli.

3-xossa. Matritsani transponirlash natijasida uning determinantining qiymati o’zgarmaydi, ya’ni berilgan A matritsa uchun .

4-xossa. Determinantda ikkita satr yoki ikkita ustunning o’rni almashtirilsa, determinantning qiymati o’z ishorasini almashtiradi.

5-xossa. Ikkita bir xil satrga (ustunga) ega bo’lgan determinant nolga teng.

6-xossa. Determinantning ikkita satri(ustuni) o’zaro proportsional bo’lsa, bu determinantning qiymati nolga teng.

7-xossa. Agar determinantning biror satri (yoki ustuni) to’laligicha ikki qo’shiluvchining yig’indisidan iborat bo’lsa, uning qiymatini ikkita determinantlar qiymatlari yig’indisi tarzida hisoblash mumkin.

8-xossa. Agar determinantning biror satri elementlarini bir xil songa ko’paytirib boshqa biror satriga qo’shilsa uning qiymati o’zgarmaydi.

9-xossa. Matritsa biror satri elementlarini boshqa biror satr elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytmalarining yig’indisi nolga teng.

10-xossa. Kvadrat matritsalar ko’paytmasining determinanti har bir matritsa determinantlari ko’paytmasiga teng, ya’ni .