1-laboratoriya ishi. Tasodifiy hodisalar va ularning ehtimolliklari (ehtimollikning klassik, geometrik va statistik ta’riflari). Murakkab hodisa ehtimolliklari

5. Nishonga 20 ta o‘q uzilgan bo‘lib, ulardan 18 ta o‘q nishonga tekkanligi qayd qilingan (A hodisa). Nishonga tegishlar nisbiy chastotasini toping.

Yechish.

1-teorema. Ikkita birgalikda bo‘lmagan hodisadan istalgan birining ro‘y berish ehtimoli, bu hodisalar ehtimollarining yig‘indisiga teng:

Natija. Juft-juftibilan birgalikda bo‘lmagan bir nechta hodisalardan istalgan biriningro‘y berish ehtimoli, bu hodisalar ehtimollarining yig‘indisiga teng:

1-ta’rif. Ikkita A va Bhodisalarning birgalikda ro‘y berish ehtimoli, bu hodisalarning ehtimolliklari ko‘paytmasiga teng bo‘lsa, ya‘ni

,

u holda ular bog‘liqmas(erkli)deyiladi.

2-ta’rif. Bir nechta birgalikda bo‘lgan hodisalar ixtiyoriy guruhining birgalikda ro‘y berish ehtimoli, bu hodisalar ehtimollarining ko‘paytmasiga teng bo‘lsa, ya‘ni

,

u holda ular to‘plamiy bog‘liqmas(erkli) deyiladi.

2-teorema.Agar bo‘lsa,u holda ikkita hodisaning birgalikda ro‘y berish ehtimoli, ulardan birining ro‘y berish ehtimolini ikkinchisining birinchisi ro‘y berganligi sharti ostidagi shartli ehtimoliga ko‘paytmasiga aytiladi, ya‘ni

.

Natija. Bir nechta bog‘liq hodisalarning birgalikda ro‘y berish ehtimoli, ulardan birining ehtimolini qolganlarining shartli ehtimollariga ko‘paytirilganiga teng bo‘lib, har bir keyingi hodisaning shartli ehtimoli oldingi hamma hodisalar birgalikda ro‘y berdi, degan faraz ostida hisoblanadi:

_.

3-teorema.Ikkita birgalikda bo‘lmagan hodisalardan kamida bittasining ro‘y berish ehtimoli, bu hodisalarning ehtimollari yig‘indisidan ularning birgalikda ro‘y berish ehtimolini ayrilganiga teng:

_.

Xususan, A va B hodisalar bog‘liq bo‘lsa,

formuladan, aks holda

formuladan foydalaniladi.

4-teorema. Birgalikda bog‘liq bo‘lmagan hodisalaridan kamida bittasining ro‘y berishidan iboratA hodisaning ehtimoli, 1dan qarama-qarshi hodisalar ehtimollari ko‘pytmasining ayrilganiga teng, ya’ni


6.Sehda bir necha stanok ishlaydi. Smena davomida bitta stanokni ta’mirlash talab etilishi ehtimoli 0,2 ga teng, ikkita staokni ta’mirlash talab etilishi ehtimoli 0,13 ga teng. Smena davomida ikkitadan ortiq stanokni ta’mirlash talab etilishi ehtimoli esa 0,07 ga teng. Smena davomida stanoklarni ta’mirlash talab etilishi ehtimolini toping.

Yechish.Quyidagi hodisalarni qaraymiz.

A={smena davomida bitta stanokni ta’mirlash talab etiladi};

B={smena davomida ikkita stanokni ta’mirlash talab etiladi};

C={smena davomida ikkitadan ortiq stanokni ta’mirlash talab etiladi}.

A, B va C hodisalar o‘zaro birgalikda emas. Bizni qiziqtiradigan hodisa:

– smena davomida hech bo‘lmaganda bitta stanokni ta’mirlash zarur bo‘lishi hodisasining ehtimolini topamiz:



7. Ikki ovchi bo‘riga qarata bittadan o‘q uzishdi. Birinchi ovchining bo‘riga tegizish ehtimoli 0,7 ga, ikkinchisiniki esa 0,8 ga teng. Hech bo‘lmaganda bitta o‘qning bo‘riga tegishi ehtimolini toping.

Yechish.A - birinchi ovchining o‘qni bo‘riga tegizishi hodisasi, B - ikkinchi ovchining o‘qni bo‘riga tegizishi hodisasi bo‘lsin. Ko‘rinib turibdiki, A va B hodisalar birgalikda bo‘lgan, ammo bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan hodisalar. U holda



Biror A hodisa hodisalarning to‘la guruhini tashkil etuvchiva juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalarning (ular gipotezalar deb ataladi) biri bilan ro‘y berishi mumkin bo‘lsin. Bu gipotezalarning ehtimollari ma’lum, ya’ni berilgan. Bu gipotezalarning har biri yuz berganligi sharti ostida A hodisaning ro‘y berish ehtimollari ham, ya’ni ehtimollari ma’lum bo‘sin. U holda A hodisaning ehtimoli “to‘la ehtimol” formulasi deb ataluvchi quyidagi formula bilan aniqlanadi.



Birgalikda bo‘lmagan, hodisalarning to‘la guruhini tashkil etadiganhodisalar berilgan va ularning ehtimollari ma’lum bo‘lsin. Tajriba o‘tkazilgan bo‘lib, uning natijasida A hodisa ro‘y bergan bo‘lsin, deylik. Bu hodisalarning har bir gipoteza bo‘yicha shartli ehtimollari, ya’nima’lum. A hodisa ro‘y berganligi sharti ostida gipotezalar ehtimollarini qayta baholash uchun, ya’nishartli ehtimollarni topish uchun

Bayes formulalaridan foydalaniladi.

8. Birinchi qutida 2 ta oq , 6 ta qora, ikkinchi qutida esa 4 ta oq, 2 ta qora shar bor. Birinchi qutidan tavakkaliga 2 ta shar olib, ikkinchi qutiga solindi, shundan keyin ikkinchi qutidan tavakkaliga bitta shar olindi.

a) olingan sharning oq bo‘lishi;

b) ikkinchi qutidan olingan shar oq bo‘lib chiqdi. Birinchi qutidan olib ikkinchi qutiga solingan 2 ta shar oq shar bo‘lishi ehtimolini toping.

Yechish.

a) quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

A - ikkinchi qutidan olingan shar oq;

- birinchi qutidan ikkinchi qutiga 2 ta oq shar solingan;

- birinchi qutidan ikkinchi qutiga 2 ta turli rangdagi sharlar solingan;

- birinchi qutidan ikkinchi qutiga 2 ta qora shar solingan.

- hodisalarning to‘la guruhini tashkil etganligi uchun to‘la ehtimol formulasiga ko‘ra,



_{boladi. Bunda:}

U holda:

_.

b) ehtimollikni Bayes formulasidan foydalanib topamiz.