1-lekсiya Kóplikler hám olar ústinde ámeller. Kompleks sanlar kópligi, kompleks sannıń moduli, qásiyetleri hám geometriyalıq súwretleniwi. Matematikalıq logika elementleri. Aytımlar hám olar ústinde ámeller

1-lekсiya 

Kóplikler hám olar ústinde ámeller. Kompleks sanlar kópligi, kompleks sannıń 

moduli, qásiyetleri hám geometriyalıq súwretleniwi. Matematikalıq logika 

elementleri. Aytımlar hám olar ústinde ámeller 

  

Kóplik  túsinigi  matematikanıń  tiykarǵı  túsiniklerinen  biri  bolıp  esaplanadi. 

Birdey qásiyetke iye bolǵan bazi bir ob`ektlerdiń jiynaǵı kóplik dep ataladi. 

 

Matematikada  hár  túrdegi  kóplikler  ushirasadi.  Misal  ushin  tegisliktegi  barliq 

noqatlar kópligi, barliq raсional` sanlar kópligi, barliq jup sanlar kópligi hám t.b 

 Kóplikti  payda  etip turǵan  ob`ektler kópliktiń  elementleri  dep  ataladi.  Ádette 

kópliklerdi  latin  alfavitinń  bas  hárpleri  A,  B,C,  ...  menen,  al  kópliktiń    elementlerin 

kishi a,b,c, . . . hárpleri menen belgilew qabil etilgen. 

 

Eger  M    bazi  bir  kóplik,  al  x  onıń  elementi  bolsa,  onda 

M

x



  kórinisinde 

jaziladi, eger x M kópliginıń elementi bolmasa, onda 

M

x



kórinisinde jazıladi. Hesh 

bir  elementke  iye  bolmaǵan  kóplik  bos  kóplik  dep  ataladi  hám  ol 



  kórinisinde 

jaziladi. 

 

Eger  A  kópliginıń  hár  bir  elementi  B    kópliginıń  de  elementi  bolsa,  onda  A 

kópligi B kópliginıń úles kópligi delinedi hám 



 



 



 kóriniste belgilenedi. A hám 



 

kóplikler  A  kópliginıń  ózlik  emes  úles  kóplikleri  delinip,  A  kópliginıń  basqa  úles 

kóplikleri onıń ózlik úles kóplikleri dep ataladi. 

 

Misallar.1.  A={2,3,4,5}  hám  B={-1,0,2,3,4,5,6,7}  bolsa,  onda  A  kópligi  V 

kópliginıń ózlik úles kópligi boladi. 

2.A={1,3,6,9}  hám  B={3,4,5,6,7,8,9,10}  kópliklerdiń  hesh  biri  ekinshisintń 

úles kópligi emes. 

 

Eger 



 hám B 



 A qatnaslar orinli bolsa, onda A hám B kóplikleri óz-ara 

teń  delinedi  hám  A=  B  kóriniste  belgilenedi.  A  hám  B  kóplikleriniń  óz-ara  teń 

emesligi 



 kóriniste belgileymiz. 

 

A  hám  B    kópliklerdiń  hesh  bolmaǵanda  birewine  tiyisli  bolǵan  barliq 

elementlerden ibarat kóplik A hám B  kópliklerdiń birlespesi dep ataladi  hám 



 

kóriniste belgilenedi.  

 

Misali.  A={2,4,6,8,10,12,14}  hám  B={10,11,12,13,14,15,16}  bolsin.  Onda  



={2,4,6,8,10,11,12,13,14,15,16} boladi. 

 

A  hám  B    kópliklerdiń  ekewinede  tiyisli  barliq  elementlerden  ibarat  kóplikke 

bul kópliklerdiń kesilispesi delinedi hám bul kóplik 



 kóriniste belgilenedi. 

 

Misallar.1.  A={6,8,10,12,14}    hám    B={11,12,13,14,15,16,17}  bolsa,  onda 



={12,14}. 

2.  A  kópligi  3  ke  eseli  sanlardan,  B    kópligi  bolsa  4  ke  eseli  sanlardan  ibarat 

bolsa, onda 



 kópligi 3 hám 4 sanlarina uliwma eseli sanlardan ibarat boladi. 

 

Eger 



=



 bolsa, onda A hám B  kóplikleri óz-ara kesilispeytuǵın kóplikler 

dep  ataladi.  Misal  ushin,  barliq  raсional`  sanlar  kópligi  menen  barliq  irraсional` 

sanlar kópligi óz-ara kesilispeytuǵın kóplikler boladi. 

 

A kópliginıń B  kópligine tiyisli bolmaǵan barliq elementlerinen ibarat kóplik 

A hám B  kópliklerdiń ayirmasi dep ataladi hám A\ B kórinste belgilenedi. 

 

Misallar.  1.  A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}    hám    B={2,4,6,8,10,12,14} bolsa,  onda 

A\B ={1,3,5,7,9}. 

 

A\ B  hám B \A kópliklerdiń birlespesine A hám B  kópliklerinıń simmetriyaliq 

ayirmasi delinedi hám bul ayirma 



 



 



 kóriniste belgilenedi



 

 

 

 



 



 



=(A\ B ) 



( B \A). 

Misallar.1. A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}  hám  B={5,6,7,8,9,10,11,12} bolsa, onda 



 



 



={1,2,3,4,10,11,12}. 

 

Birinshi elementi A kópligine hám ekinshi elementi B kópligine tiyisli bolǵan 

barliq  (a,  b)  jupliqlar  kópligi  A  hám  B  kópliklerinıń  dekart  (tuwri)  kóbeymesi  dep 

ataladi hám bul kóbeyme  A



 B  kóriniste belgilenedi. 

 

X\E  ayirma  (bul  jerde  E 



  X)  E  kópliginıń  X  kópligine  salistirǵanda 

toliqtiriwshisi dep ataladi hám SE kóriniste belgilenedi. 

 

Misal. X=[-1, 2] hám E=(0, 1) bolsa,  onda SE=[-1,0] 



 [1, 2]. 

Kóplikler ústinde ámellerdiń qásiyetleri 

1.  Qálegen M  kópligi ushin M



M qatnasi orinli. 

2.  Qálegen M  kópligi ushin 

M





 qatnasi orinli. 

3.  Eger úsh kóplik ushin 

,

S

N

,

N

M





 bolsa, onda 

S

M



 orinli boladi. 

4.  Qálegen úsh kóplik ushin 

)

S

N

(

M

S

)

N

M

(











 assoсiativlik qásiyeti 

orinli. Bul qásiyet kópliklerdiń kesilispesi ushinda orinli. 

5.  Kópliklerdiń birlespesi hám kesilispesinıń kommutativlik qásiyeti: 

.

M

N

N

M

,

M

N

N

M













 

6.  Kópliklerdiń birlespesi hám kesilispesinıń distributivlik qásiyeti: 

)

S

M

(

)

N

M

(

)

S

N

(

M

),

S

M

(

)

N

M

(

)

S

N

(

M

























 

 

 

 

 

 

          

 

 

 

 

 

          A 

 

 

 

 

 

 

 

 

      V 

A 



 B  

S = A 



 B. 

 

 

 

 

 

 

       A             B  

 

S = A 



 B . 

 

 

 

 

 

 

 

 

   A          S         B 

 

 

S = A \ B . 

 

 

 

 

 

 

 

A                 B 

 

 

 

A 



 V.  A 



 V = (A \ B) 



 (B \ A) 

 

 

 

 

 

 

 

A 

 

B 

 

 

 

 

Eger   x  hám   y   haqıyqıy sanlardıń  

)

,

(

y

x

  juplıqları ushın teńlik túsinigi hám 

qosıw  hám  kóbeytiw  ámelleri  tómendegishe  anıqlanǵan  bolsa,  onda  bul  juplıqlar  

kompleks san  dep ataladı. 

 

1. Eki  

1

1

,

(

y

x

) hám  

)

,

(

2

2

y

x

  kompleks sanlar  teń  dep esaplanadı sol waqıtta 

hám tek sol waqıtta, eger  

2

1

x

x



  hám  

2

1

y

y



  bolsa. 

 

2. 

)

,

(

2

1

2

1

y

y

x

x





  kompleks  san   

1

1

,

(

y

x

)  hám   

)

,

(

2

2

y

x

    kompleks 

sanlarınıń  qosındısı  dep ataladı. 

 

3.  

)

,

(

1

2

2

1

2

1

2

1

y

x

y

x

y

y

x

x





 kompleks san  

1

1

,

(

y

x

) hám  

)

,

(

2

2

y

x

  kompleks 

sanlarınıń  kóbeymesı  dep ataladı. 

 

Solay etip, kompleks sannıń anıqlaması boyınsha 

.

)

,

(

)

,

(

)

,

(

;

)

,

(

)

,

(

)

,

(

;

,

)

,

(

)

,

(

2

1

1

2

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

2

1

1

y

x

y

x

y

y

x

x

y

x

y

x

y

y

x

x

y

x

y

x

y

y

x

x

y

x

y

x

























 

)

0

,

(x

 komspleks sanı   x   haqıyqıy sanına teńlestiriledi. 

(0,1) kompleks sanı jormal birlik dep ataladı hám 

i

 simvolı menen belgilenedi:  

i

=(0,1). 

.

1

)

0

,

1

(

)

1

,

0

(

)

1

,

0

(

2















i

i

i

 

 

Kompleks sannıń anıqlamasınan 

`

y

i

x

y

x

y

x

y

i

y

y













)

,

0

(

)

0

,

(

)

,

(

,

)

0

,

(

)

1

,

0

(

)

,

0

(

 

teńliklerine iye bolamız. 

 

Solay  etip,  hár  bir   

)

,

(

y

x

  kompleks  sandı   

y

i

x

z





    kórinisinde  jazıw 

múmkin.  Kompleks  sannıń   

y

i

x

z





  kórinisinde  jazılılwı  kompleks  sannıń 

jazılıwınıń    algebralıq  forması    dep  ataladı.  y

i

    kompleks  sanı    jorıma  san    dep 

ataladı.  Dara  jaǵdayda, 

0



z

    sanı  bir  waqıtta  hám  haqıyqıy,  hám  jorıma  san 

bolatuǵın jalǵız bir san.  

Algebralıq  formada  jazılǵan  eki   

1

1

1

y

i

x

z





  hám   

2

2

2

y

i

x

z





    kompleks 

sanlarınıń teńligi, qosındısı hám kóbeymesi tómendegishe anıqlanadı: 

).

(

)

(

)

(

)

(

,

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

x

y

y

x

i

y

y

x

x

z

z

y

y

i

x

x

z

z

y

y

x

x

z

z



























 

 

x     sanı   

y

i

x

z





    kompleks  sanınıń    haqıyqıy  bólegi,  al    y     sanı-  jorıma 

bólegi   dep ataladı hám  

z

y

z

x

Im

,

Re





  dep belgilenedi. 

y

i

x



    kompleks  sanı 

y

i

x

z





    kompleks  sanınıń    túyinlesi    dep  ataladı  

hám   

iy

x

z





    dep  belgilenedi.  Hár  bir   

z     kompleks  san  ushın   

z

z



)

(

    teńlik 

orınlı. 

z

z



  teńlik  

z  sanı haqıyqıy san bolsa hám tek sol waqıtta ǵana orınlı. 

2

2

y

x



 sanı 

z   kompleks sannıń moduli  dep ataladı hám  

2

2

y

x

z





  dep 

belgilenedi.  Qálegen   

z

  kompleks  sanı  ushın   

0



z

  bolıp, 

.

0

0







z

z

  Haqıyqıy 

sannıń moduli onıń absolyut mánisine teń. Kompleks sanlardıń modul`leri ushın 

2

z

z

z

z

z





 

teńlikler orınlı. 

 Kompleks  sanlar  ústinde  ámeller  hám  olardıń  qásiyetleri.  Kompleks 

sanlardı qosıw hám kóbeytiw ámelleri tómendegishe qásiyetlerge iye: 

1. Kommutativlik:   z

1

+z

2

=z

2

+z

1

 ,  z

1

z

2

=z

2

z

1

. 

2. Assoсiativlik:    (z

1

+z

2

)+z

3

=z

1

+(z

2

+z

3

). 

3. Distributivlik:  z

1

(z

2

+z

3

)=z

1

z

2

+z

1

z

3

.  

 

Kompleks  sanlar  kópliginde  qosıw  ámeline  keri  ámeldi-  alıw  ámelin  hám 

kóbeytiw ámeline keri ámeldi- bóliw ámelin kiritiw múmkin: 

).

0

(

),

(

)

(

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

























z

y

x

y

x

y

x

i

y

x

y

y

x

x

z

z

y

y

i

x

x

z

z

 

 

 Kompleks sanlardıń geometriyalıq interpretaсiyası. Kompleks tegislik.  

Meyli,  tegislikte  tuwrı  múyeshli  koordinatalar  sisteması  berilgen  bolsın. 

y

i

x

z





  kompleks sanına tegisliktiń  

)

,

(

y

x

  noqatı sáykes qoyıladı hám bul noqat 

sol  

z   háribi menen belgilenedi (1- súwret). 

 

sanları  koordinatalar  basına  qarata,  al  z     hám  z     sanları  haqıyqıy  kósherge  qarata 

simmetriyalıq.  

z   kompleks sanı bası koordinatalar basında, al aqırı   z  noqatında  bolǵan vektor 

menen  de  súwretlenedi  (1-súwret).  Kompleks  sanlar  hám  kompleks  tegisliktiń  bası 

Бундай  с1йкеслик  бир  м1нисли 

с1йкеслик  болады.  Бунда  8а3ый3ый  санлар 

абсциссалар  к5шерини4  но3атлары  ар3алы, 

ал  жорыма  санлар  ординаталар  к5шерини4 

но3атлары  ар3алы  с67ретленеди.Сонлы3тан 

абсциссалар  к5шери 

8а3ый3ый  к5шер, 

ал 

ординаталар  к5шери 

жорыма  к5шер   

деп 

аталады. 

Комплекс 

санлар 

с67ретленету2ын  тегислик   

комплекс 

тегислик  

деп аталады. 

 

  81м   

  комплекс  

 

 

          

                              

               

 

 

 

 

 

 

 

         

                   O                          

koordinatalar  basında  jaylasqan  vektorları  arasındaǵı  bunday  sáykeslik  óz-ara  bir 

mánisli  sáykeslik    boladı.  Sonlıqtan   

z     kompleks  sanın  súwretlewshi  vektor  da    z   

háribi menen belgilenedi. 

Matematikalıq logika elementleri. Aytımlar hám predikatlar, olar ústinde 

ámeller. 

Aytımlar esabi aksiomatikaliq logikaliq sistema bolıp, aytimlar algebrasi onın’ 

interpretaсiyasi. 

            berilgen 

aksiomalar 

sistemesi 

tiykarinda 

(bazasinda) 

qaralg’an 

aksiomatikaliq teoriya dep usi aksiomalar sistemesina su’yenip da’lilleniwshi barliq 

teoremalar jiynag’ina aytiladi. 

            Aksiomatikaliq teoriya formal ha’m formal emes teoriyalarg’a bo’linedi. 

             Formal  emes  aksiomatikaliq  teoriya  teoriyaliq-ko’plik  mazmun  menen 

toltirilg’an  bolıp,  keltirip  shig’ariw  tu’sinigi  aniq  berilmegen  ha’m  bul  teoriya 

tiykarlanip pikr muzmunina su’yenedi. 

            Qaralip atirg’an aksiomatikaliq teoriya ushin to’mendegi sha’rtler orinlang’an 

bolsa, yag’niy: 

            1)Teoriyanin’ tili berilgen; 

            2)Formula tu’sinigi aniqlang’an; 

            3)Aksiomalar dep atalatug’ın formulalar ko’pligi berilgen; 

           4)Bul  teoriyada  keltirip  shig’ariw  qag’ıydası  aniqlang’an  bolsa,  formal 

aksiomatikaliq teoriya aniqlang’an dep esaplanadı. 

            

To’mende  aytimlar  esabinin’  simbolları,  formulasi,  aksiomalar 

sistemesi,   keltirip  shig’ariw  qag’ıydalari,  formulalar  jıynag’ınan  formulani  keltirip 

shig’ariw  qag’ıydası,  dedukсiya  ha’m  ulıwmalasqan  dedukсiya  teoremalari,  ayrim 

logika  nızamlıqlarının’  da’lili,  aytimlar  algebrasi  ha’m  aytimlar  esabi  arasindag’i 

qatnaslar, aytimlar esabinda sheshiliw, qarsiliqsiz, toliqliliq ha’m erkinlik mubiraqlari 

siyaqli ma’selelar bayan etiladi. 

  

Aytımlar esabi formulasi tu’sinigi 

             Ha’r qanday esaptin’ mag’anasi bul esaptin’ simbolları mag’anasinan, 

formulalar ha’m keltirip shig’ariw formulalari anıqlamasınan ibarat. 

            Aytımlar  esabinda    u’sh  kategoriyali  simvollardan  ibarat  alfavit  qabıl 

qılınadı: 

Birinshi 

kategoriya 

simbolları: 

. 

Bul 

simbollardı 

o’zgeriwshiler dep ataymiz. 

            Ekinshi  kategoriya  simbolları:  ,  , 

   .  Bular  logikaliq  baylanıslar. 

Birinshisi  –  dizyunkсiya  yamasa  logikaliq  ko’shiw  belgisi,  ekinshisi  –  konyunkсiya 

yamasa logikaliq ko’beyme belgisi, u’shinshisi – implikaсiya belgisi ha’m to’rtinshisi 

– biykarlaw belgisi dep ataladi. 

            Ushinshi kategoriyag’a qawıs dep atalatug’ın ( , ) simvol kiritiledi. 

            Aytımlar esabinda basqa simvollar joq. 

            Aytımlar esabinin’ formulasi dep aytimlar esabi alfaviti simbollarınin’ belgili 

bir izbe-izligine aytiladi. 

             Formulalardi  belgilew  ushin  latin  alfavitinin’  u’lken  ha’riplerinen 

paydalanamiz. Bul ha’ripler aytimlar esabinin’ simbolları qatarina kimeydi. Olar tek 

g’ana formulalardin’ sha’rtli belgileri bolıp xizmet qiladi. 

            Endi  formula  tu’sinigi  aniqlamasin  bereyik.  Bul  tu’sinik  to’mendegishe 

aniqlanadi: 

1) ha’r qanday 

 o’zgeriwshilernin’ qa’legen biri formula; 

            2) eger   ha’m   larnin’ ha’r biri formula bolsa, onda (

), (

), (

) ha’m   lar da formulalar boladi. 

            3) basqa hesh qanday simvollar qatari formula bola almaydi. 

            O’zgeriwshilerdi elementar formulalar dep ataymiz. 

            Misal.  Formula  aniqlamasinin’  1-bo’limine  ko’re 

 o’zgeriwshiler 

formulalar  boladi.  Onda  aniqlamanin’  2-bo’limine  muwapiq 

, 

, 

,   lar 

ha’m  formulalar  boladi.  Usinday  izbe-izlikte 

, 

, 

 lar ha’m formulalar boladi. 

            To’mendegilar formula bola almawin tu’sindirin’: 

               

,   

,   

, 

, 

. 

            U’les formula tu’sinigini kiritemiz: 

            1.Elementar formula ushin tek onın’ o’zi u’les formula. 

             2.Eger   formula  bolsa,  onda  usi  formulanin’  o’zi,   formula  ha’m 

 formulanin’ barliq u’les formulalari onın’ u’les formulalari boladi. 

             3.Eger  formula 

 ko’rinisinde  bolsa  (bul  jerde  ha’m  Bunnan 

keyin    

ornina  ,  ,   simbollardıng 

qa’legenini  tushunamiz),  onda  usi 

formulanin’  o’zi,   ha’m 

 formulalar  ha’mde   ha’m 

 formulalardin’  barliq 

u’les formulalari 

 formulanin’ u’les formulalari boladi. 

            Ma’selen, 

 formula ushin: 

  

 - nolinshi qatardag’i u’les formula, 

, 

 - birinshi qatardag’i u’les formulalar, 

            

 - ekinshi qatardag’i u’les formulalar, 

            

 - ushinshi qatardag’i u’les formulalar, 

            z – to’rtinshi qatardag’i u’les formula dep ataladi. 

Formulalardi  jaziwda  ayirim  a’piwayilastiriwlardi  qabıl  qilamiz.  Aytimlar 

algebrasidag’i siyaqli formulalar jaziwdag’i qawıslardi tu’sirip qaldiriwg’a kelisemiz. 

Bul  kelisiwge  tiykarlanip 

, 

, 

 formulalardi  sa’ykes 

tu’rde 

, 

, 

 ko’rinisinde jazamiz. 

 

Tapsırmalar: 

1.  Kóplikler ústinde qanday ámeller orınlanadı? 

2.  A={1,3,5,7,9},   B={2,4,6,7,8,9,10}  bolsa, A



B=? 

Ádebiyat 

1.  N.Hamedova,  Ya.Ibragimova,  T.  Tasetov.  Matematika,  Toshkent,  «Turon-

Iqbol» 2007.