1-ma’ruza. Funkciyani interpolyatsiyalash masalasining qo'yilishi. Masalaniń geometrik mohiyati. Porabolik interpolyatsiyalash va uning yagonaligi

2. Chiziqli interpolyatsiya

Chiziqli interpolyatsiyada jadvalda berilgan (x_i, y_i), ( ) nuqtalar toʻg‘ri chiziqlar bilan birlashtiriladi va dastlabki berilgan f(х) funksiya [а; b] oraliqda uchlari interpolyatsiya tugunlaridan iborat siniq chiziqqa yaqinlashadi.

Umumiy holda qismiy oraliqlar [x_i–1, x_i][a, b] turlicha boʻladi. Har bir siniq chiziq kesmasi uchun (x_i–1, y_i–1) va (x_i, y_i) nuqtalardan oʻtuvchi toʻg‘ri chiziq tenglamasini yozish mumkin. Xususiy holda, i- interval uchun ikki nuqtadan oʻtuvchi toʻg‘ri chiziq tenglamasi quyidagicha boʻladi:

U holda ishchi formula:
bunda , .
1-shakldan koʻrish mumkinki, (6.5) formulani amalga oshirish uchun oldin x_T qiymat tushadigan oraliqni aniqlash kerak, soʻngra bu oraliq chegaralaridan foydalanish mumkin.

1-shakl.

Tugunlardan tashqari nuqtalarda nazariy xatolik R(x) = f(x) – F(x)  0.

bunda М₂ = max , х[x_i–1, x_i].
Misol. Jadval bilan berilgan funksiya qiymatini x = 0,4 boʻlgan hol uchun chiziqli interpolyatsion formuladan foydalanib hisoblang:

I	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	–0,5	0	0,2	1

Yechish: (6.5) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:
y = a_ix + b_i
bunda ,
x_t = 0,4; 0,3  x_t 0,5;
Jadvaldagi x_i–1 = 0,3; x_i = 0,5; y_i–1 = 0,2; y_i = 1 qiymatlar yordamida koeffitsiyentlarni hisoblaymiz:

Demak, y = 4x–1 funksiya koʻrinishi aniqlandi. Endi x=0,4 qiymat uchun hosil boʻlgan chiziqli funksiyaning son qiymatini aniqlaymiz: y = 40,4 – 1 = 0,6.