1-ma’ruza: Gamma va Beta funktsiyalar va ularning xossalari, ular orasidagi bog`lanish. Reja

2. Gamma funksiya haqida.

xosmas integralni qaradik. Bu chegaralanmagan funksiyaning da x=0 maxsus nuqta) cheksiz oraliq bo`yicha olingan xosmas integrali bo`lishi bilan birga ga (parametrga) ham bog`liqdir. Ushbu yerda xosmas integralning da yaqinlashuvchi ekanligi ko`rsatildi.
Ta’rif.

integral gamma funksiya yoki II tur Eyler integrali deb ataladi va kabi belgilanadi. Demak,

Shunday qilib, funksiya da berilgandir. Endi funksiyaning xossalarini o`rganaylik.
2.2.Gamma funksiya xossalari.
. integral

ixtiyoriy [ orasidagi tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
Isbot. integralni quyidagi ikki qismga ajratib.

ularning har birini alohida alohida tekis yaqinlashuvchiga tekshiramiz.
Agar sonni olib, parameter ning qiymatlari qaralsa, unda barcha uchun bo`lib, ushbu Veyeshtrass alomatiga asosan

integral tekis yqinlashuvchi bo`ladi.
Agar sonni olib, parametr ning qiymatlari qaraladigan bo`lsa, unda barcha uchun

bo’lib,

integralning yaqinlashuvchiligidan, yana Veyeshtrass alomatiga ko’ra


integralning tekis yaqinlashuvchi bo’lishini topamiz. Shunday qilib,

integral da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Eslatma. ning da notekis yaqinlashuvchiligini ko;rish qiyin emas.
funksiya da uzluksiz hamda barcha tartibdagi uzluksiz hosilalarda ega va
.
Isbot. nuqtani olamiz. Unda shunday oraliq topiladiki, bo’ladi.
Ravshanki,

integral ostidagi funksiya

to’plamda uzluksiz funksiyadir. integral esa da tekis yaqinlashuvchi. funksiya da, nuqtada uzliksiz bo’ladi.

integral ostidagi funksiya

hosilasining M to’plamda uzluksiz funksiya ekanligini payqash qiyin emas.
Endi

Integralni da tekis yaqinlashuvchi bo’lishini ko’rsatamiz. Ushbu integral ostidagi funksiya uchun da tengsizlik o’rinlidir.