1-Ma’ruza. Hisoblash usullari faniga kirish. Xatoliklar nazariyasi. Funksiya xatoliklari

XATOLAR MANBAI
Ko`pincha matematik masalalarni sonli echishda biz doimo aniq echimga ega bula olmasdan, balki echimni u yoki bu darajadagi aniqlikda topamiz. Demak, aniq echim bilan taqribiy echim orasidagi xatolik qanday kilib kelib koladi degan savol tugilishi tabiiydir. Bu savolga javob berish uchun xatoliklarning hosil bo`lish sabablarini o`rganish lozim.
Matematikada tabiat xodisalarining miqdoriy nisbati u yoki bu funktsiyalarni bir-birlari bilan boglaydigan tenglamalar yordamida tasvirlanadi va bu funktsiyalarning bir qismi ma`lum bo`lib (dastlabki ma`lumotlar), boshqalarni topishga to`g’ri keladi. Tabiiyki, topilishi kerak bo`lgan miqdorlar (masalaning echimi) dastlabki ma`lumotlarning funktsiyasi bo`ladi. Kerakli echimni ajratib olish uchun dastlabki ma`lumotlarga konkret qiymatlar berish kerak. Bu dastlabki ma`lumotlar, odatda, tajribadan olinadi (masalan, yorug’lik tezligi, Plank doimiysi, Avogadro soni va x.k.) yoki boshqa biror masalani echishdan hosil bo`ladi. Har ikkala xolda ham biz dastlabki ma`lumotlarning aniq qiymatiga emas, balki uning taqribiy qiymatiga ega bo`lamiz. Shuning uchun agar dastlabki ma`lumotlarning har bir qiymati uchun tenglamani aniq, echganimizda ham, baribir (dastlabki ma`lumotlardagi qiymatlar taqribiy bo`lganligi uchun) taqribiy natijaga ega bo`lamiz va natijaning aniqligi dastlabki ma`lu­motlarning aniqligiga bog’liq bo`ladi.
Aniq, echim bilan taqribiy echim orasidagi farq xato deyiladi. Dastlabki ma`lumotlarning noaniqligi natijasida hosil bo`lgan xato yo`qotilmas xato deyiladi. Bu xato masalani echayotgan matematikga bog’liq. bo`lmasdan, unga berilgan ma`lumotlarning aniqligiga bog’liqdir. Lekin matematik dastlabki ma`lumotlar xatosining kattaligini bilishi va shunga qarab natijaning yo`qotilmas xatosini baxolashi kerak. Agar dastlabki ma`lumotlar­ning aniqligi katta bo`lmasa, aniqligi juda katta bo`lgan metodni qo`llash urinsizdir. CHunki aniqligi katta bo`lgan metod ko`p mexnatni (hisoblashni) talab kiladi, lekin natijaning xatosi bari bir yo`qotilmas xatodan kam bo`lmaydi.
Ba`zi matematik ifodalar tabiat xodisasining ideallashtirilgan modelini tasvirlaydi. Shuning uchun tabiat xodisalarining aniq matematik ifodasini (formulasini, tenglamasini) berib bo`lmaydi, buning natijasida xato kelib chikadi. Yoki biror masala aniq matematik formada yozilgan bo`lsa va uni shu ko`rinishda echish mumkin bo`lmasa, bunday xolda bu masala unga yaqinrok va echish mumkin bo`lgan masalaga almashtirilishi kerak. Buning natijasida kelib chiqadigan xato metod xatosi deyiladi.
Biz doimo , e, 1p2 va shunga o`xshash irratsional sonlarning
taqribiy qiymatlarini olamiz, bundan tashqari, hisoblash jarayonida oraliq natijalarda ko`p xonali sonlar hosil bo`ladi, bularni yaxlitlab olishga to`g’ri keladi. Ya`ni masalalarni echishda hisoblashni aniq olib bormaganligimiz natijasida ham xatoga yo`l qo’yamiz, bu xato hisoblash xatosi deyiladi.
Shunday kilib, to’liq xato yuqorida aytilgan yo`qotilmas xato, metod xatosi va hisoblash xatolarining yig’indisidan iboratdir. Ravshanki, biror konkret masalani echayotganda yuqorida aytilgan xatolarning ayrimlari katnashmasligi yoki uning ta`siri deyarli bo`lmasligi mumkin. Lekin, umuman olganda, xato to’liq. analiz kilinishi uchun bu xatolarning xammasi hisobga olinishi kerak.