1-ma’ruza. Matritsalar nazariyasi elementlari. Reja: Matritsalar. Asosiy ta’riflar

1-ma’ruza. Matritsalar nazariyasi elementlari.
Reja:
1. Matritsalar.
2. Asosiy ta’riflar.
3. Matritsalar ustida amallar.
4. Matritsaning xossalari.


Tayanch so‘z va iboralar: Matritsalar, satr-vektor, ustun-vektor, kvadrat matritsa, uchburchak matritsa, diagonal matritsa, birlik matritsa, nol matritsa, xosmas matritsa, xos matritsa, transponirlangan matritsa, kommutativ matritsa,


Ta’rif-1.Sonlarning m ta satr va n ta ustundan tashkil topgan to‘g‘ri to‘rtburchakli
(1.1)
jadvaliga olchamli matritsa deyiladi, bu yerda -matritsaning satr, ustinda joylashgan elementi.
Ta’rif-2. o‘lchamli matritsa satr matritsa yoki satr-vektor, o‘lchamli matritsa ustun matritsa yoki ustun-vektor deb ataladi.
, (1.2)


Ta’rif-3. n o‘lchamli maritsaga n- tartibli kvadrat matritsa deyiladi. Bosh diagonalidan bir tomonda yotuvchi barcha elementlari nolga teng bo‘lgan kvadrat matritsaga uchburchak matritsa deyiladi. Bosh diagonali elementlaridan boshqa barcha elementlari nolga teng bo‘lgan kvadrat matritsaga diagonal matritsa deyiladi. Barcha elementlari birga teng bo‘lgan diagonal matritsa birlik matritsa deb ataladi va E bilan belgilanadi.
, ,
, (1.3)
Ta’rif-4.Barcha elementlari nolga teng bo‘lgan matritsaga nol matritsa deyiladi va E bilan belgilanadi.
(1.4)

n-tartibli kvadrat matritsaning determinanti yoki kabi belgilanadi. Bunda agar bolsa, maxsusmas ( yoki xosmas), agar bolsa, maxsus (yoki xos) matritsa deyiladi.

Ta’rif-5. A matritsada barcha satrlarni mos ustunlar bilan almashtirish natijasida hosil qilingan A* matritsaga A matritsaning transponirlangan matritsasi deyiladi. Bunda A = A* bo‘lsa A simmetrik matritsa bo‘ladi.

Ta’rif-6. Bir xil o‘lchamli ) va matritsalarning barcha mos elementlari teng, ya’ni bo‘lsa, bu matritsalarga teng matritsalar deyiladi va deb yoziladi.
Ta’rif-7. Bir xil o‘lchamli va matritsalarning yig‘indisi deb, elementlari kabi aniqlanadigan shu o‘lchamdagi matritsaga aytiladi.
Ta’rif-8. matritsaning songa ko‘paytmasi deb, elementlari
kabi aniqlanadigan shu o‘lchamdagi matritsaga aytiladi.
matritsa A matritsaga qarama-qarshi matritsa deb ataladi.
Bir xil o‘lchamli va matritsalarning ayirmasi
kabi topiladi.
Matritsalarni qo‘shish va ayirish amallari bir xil o‘lchamli matritsalar uchun kiritiladi.
1 -misol. va matritsalar berilgan.
matritsani toping.

Ta’rif-9. o‘lchamli matritsaning o‘lchamli matritsaga ko‘paytmasi deb, elementlari kabi aniqlanadigan o’lchamli matritsaga aytiladi.
Ikki matritsani ko‘paytirish amali 1-matritsaning ustunlari soni 2- matritsaning satrlari soniga teng bo‘lgan holda kiritiladi.
2- misol. AB ko‘paytmani toping:

Bir xil tartibli A va B kvadrat matritsalar uchun AB va BA ko‘paytmalarni topish mumkin. Bunda AB = BA bo‘lsa A va B kommutativ matritsalar deyiladi.

Matritsaning xossalari.
1. matritsalar o’lchovli matritsalar bo’lsin. matritsa barcha elementlari nollardan iborat bo’lgan matritsa bo’lsin.
a)
b)
c)
d) shunday m xn o’lchovli matritsa topiladiki. bo’ladi.
2. - o’lchovli matritsalar bo’lsin, xaqiqiy sonlar bo’lsin. - o’lchovli nollardan iborat bo’lgan matritsa bo’lsin. U holda quyidagilar o’rinli:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

3. 1) assosiativlik: bu yerda o’lchovli, o’lchovli, o’lchovli matritsalar.
2) distributivlik: bu yerda o’lchovli, va o’lchovli matritsalar,
3) bu yerda va o’lchovli, o’lchovli matritsalar.
4) bu yerda o’lchovli, o’lchovli matritsalar haqiqiy son.


Savollar.
1. Matritsa nima?
2. Matritsalar ustida amallar qanday bajariladi?
3. Matritsaning xossalari.