1-ma’ruza Mavzu: Skalyar maydon. Satx chiziqlari va sirtlari yo’nalish bo’yicha xosila. Reja

1-ma’ruza 

Mavzu: Skalyar maydon . Satx chiziqlari va sirtlari yo’nalish bo’yicha xosila. 

 

Reja: 

1.  Skalyar maydon 

2.  Satx chiziqlari va sirtlari 

3.  Yo’nalish bo’yicha xosila. 

 

Tayanch iboralar: Skalyar kattalik, vektor katalik, skalyar maydon, satx chiziqlari, maydon 

funksiyasi, yo’nalish bo’yicha hosila. 

 

Skalyar maydon. 

Fizika va mexanikaning ko’p masalalarida ikki xil kattalik bilan ish ko’rishga to’g’ri 

keladi. 

1. Skalyar kattalik 

2. Vektor kattalik 

Ta’rif:    O’zining  son  qiymati  bilan  to’la  aniqlanadigan  kattalik  skalyar  kattalik 

deyiladi. 

Masalan: xajm, massa va xakazo. 

Ta’rif:    Fazoning  biror  qismi  (yoki  butun  fazoning)  xar  bir  M  nuqtasida  biror  i 

skalyar  miqdorning  son  qiymati  aniqlangan  bo’lsa,  bu  miqdorning  skalyar  maydoni  berilgan 

deyiladi. 

Misol: xarorat maydoni, kuch maydon potentsiali va xakazo. 

Agar  i  kattalik  t  vaqtga  bog’liq  bo’lmasa,  bu  kattalik  statsionar  (barqaror)  maydon 

deyiladi, aks xolda nostatsionar maydon (barqaror bo’lmagan) maydon deyiladi. 

Bundan keyin faqat statsionar maydonlar bilan ish ko’ramiz. Shunday qilib, i skalyar 

kattalik  faqat  M  nuqtaning  o’rniga  bog’liq  bo’ladi,  ya’ni  i  kattalik  M  nuqtaning  funksiyasi 

sifatida  qaraladi  va      i=i(M)    ko’rinishda  belgilanadi.  Bu  funksiyani  maydon  funksiyasi  deb 

ataymiz. 

Agar  M  nuqta  fazoda  OXYZ  koordinatalar  sistemasida  qaralsa,  maydon  funksiyasi  

i=i(x,y,z)   ko’rinishda bo’ladi. Agar M  nuqta tekislikda XOY koordinatalar sistemasida qaralsa, 

maydon funksiyasi i=i(x,y)   ko’rinishda bo’ladi. 

Skalyar  maydonlarning  geometrik  tasviri  bo’lib,  ularning  satx  sirtlari  yoki  satx 

chiziqlari xizmat qiladi. Ular yordamida skalyar maydonlarning xossalarini o’rganish mumkin. 

Satx sirtlari. 

Ta’rif:  Skalyar  maydonning  satx  sirti  deb  fazoning  shunday  nuqtalari  to’plamiga 

aytiladiki,  unda  maydon  funksiyasi  o’zgarmas  qiymatga  ega  bo’ladi.  Bu  sirtlar  i=i(x,y,z)=c   

tenglama bilan aniqlanadi   c=const  . 

S ga turli qiymatlar berib, satx sirtlari oilasini xosil qilamiz. 

Misol:    Skalyar  maydon 

      funksiya  bilan  berilgan  bo’lsa,  satx 

sirtlari tenglamasi  

   bo’ladi. Bu markazi koordinatalar boshida bo’lib, radiusi  

  ga teng bo’lgan sferalar oilasini aniqlaydi. 

  

 

Satx chiziqlari. 

Ta’rif:  Skalyar  maydonning  satx  chizig’i  deb  tekislikning  shunday  nuqtalar 

to’plamiga aytiladiki, unda i=i(x,y)   maydon funksiyasi o’zgarmas qiymatga ega bo’ladiki, ya’ni 

bu chiziqlar  i=i(x,y)=c  tenglama bilan aniqlanadi. 

S ga turli qiymatlar berib, satx chiziqlari oilasini  xosil qilamiz. 

Misol:  Skalyar  maydon  i=xy  funksiyasi  bilan  berilgan  bo’lsa,  satx  chiziqlari      xy=c  

tenglama bilan  aniqlanadi. Bu giperbolalar oilasini aniqlaydi. 

 

Misol:     

      funksiyasi  bilan berilgan skalyar maydonni 

M (2,3) nuqtadan o’tuvchi satx chizig’i tenglamasini yozing. 

Yechish:  

 

 

 

 

 

Bu markazi 0.(1,-2) nuqtada 

   bo’lgan aylana. 

 

Berilgan yo’nalish bo’yicha xosila. 

Agar  i=i(x,y,z) funksiya differensiallanuvchi bo’lsa, u holda uning ixtiyoriy yo’nalish 

bo’yicha xosilasi mavjud va quyidagi formula bo’yicha xisoblanadi. 

 

Bu yerda 

, 

, 

  -vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari 

 

 

 

 

 

 

 

Agar i=i(x,y) bo’lsa  

 

  funksiyani    yo’nalish bo’yicha o’zgarish tezligini xarakterlaydi. 

tezlik kattaligni aniqlaydi 

M 

M

1

 

α  

β 

C 

x 

y 

bo’lsa,  i funksiya    yo’nalishda o’sadi 

bo’lsa,  i funksiya    yo’nalishda kamayadi 

 

Misol:  1. i=xyz  funksiyaning M (-1,2,4) nuqtada, Shu nuqtadan M

i

 (-3,4,5) nuqtaga 

tomon yo’nalishidagi xosilasini toping. 

Yechish:  

 

 

 

 

 

 

 

 

Mustahkamlash uchun savollar. 

 

1.  Vektor va skalyar kattaliklarga ta’rif bering. 

2.  Satx chiziqlari qanday tenglama bilan aniqlanadi? 

3.  i=i(x,y,z) differensiallanuvchi funksiyaning ixtiyoriy yo’nalish bo’yicha xosilasi qanday 

formula yordamida aniqlanadi? 

 

 

Foydalanilgan adabiyotlar 

 

1.  Yo.U. Soatov,  “Oliy matematika”, 2-qism, Toshkent, O’qituvchi 1994 y. 

2.  Yo.U. Soatov,  “Oliy matematika”, 3-qism, Toshkent, O’qituvchi 1996 y.