1-Maʼruza. Proeksiyalashning nazariy asoslari

To’g’ri chiziqning ortogonal proyeksiyalari

To’g’ri chiziq kesmasining proyeksiyalari orqali uning haqiqiy o’lchamini aniqlash va proyeksiyalar tekisliklari bilan hosil qilgan burchaklarini aniqlash masalasi amaliyotda ko’p uchraydi.

AV to’g’ri chiziq kesmasi hamda uning P₁ va P₂ tekisliklardagi proyeksiyalari berilgan bo’lsin (6.1.-shakl). Kesmaning A nuqtasidan AE||A₁B₁ to’g’ri chiziq o’tkaziladi va to’g’ri burchakli AVE ni hosil qilinadi. Bunda VE=VV₁-AA₁, bu erda AA₁=EB₁ bo’lgani uchun BE=BB₁-EB₁=z bo’ladi.

To’g’ri burchakli AVE uchburchakning AV gipotenuzasi AE katet bilan  burchak hosil qiladi. Bu burchak AV kesmaning P₁ proyeksiyalar tekisligi bilan hosil qilgan burchagi bo’ladi.

To’g’ri chiziq kesmasining P₂ proyeksiyalar tekisligi bilan hosil qilgan  burchagini aniqlash uchun to’g’ri burchakli ABF uchburchakdan foydalanamiz. Bu uchburchakning BF kateti AB kesmaning frontal proyeksiyasi A₂B₂ ga, ikkinchi AF kateti esa A va V uchlarining P₂ tekislikdan uzoqliklarining ayirmasiga teng bo’ladi. Bunda AF=AA₂-BB₂, bo’lib, BB₂=FA₂ bo’lgani uchun AF=AA₂-FA₂=dy bo’ladi.

To’g’ri burchakli ABF ning AV gipotenuzasi BF katet bilan hosil qilgan  burchak AV kesmaning P₂ tekislik hosil qilgan burchagi bo’ladi.

CHizmada kesmaning berilgan proyeksiyalari orqali uning haqiqiy uzunligi va proyeksiyalar tekisliklari bilan hosil qilgan burchaklarini aniqlash uchun yuqoridagi fazoviy model asosida to’g’ri burchakli uchburchaklar yasaladi. SHuning uchun bu usulni to’g’ri burchakli uchburchak usuli deb yuritiladi.



6.1-shakl
Masalan, AV kesmaning A₁B₁ A₂B₂ va A₃V₃ proyeksiyalarga asosan uning (6.2-a, shakl) haqiqiy o’lchami va P₁ bilan hosil qilgan  burchagini aniqlash uchun to’g’ri burchakli A₁B₁B₀ uchburchak yasaladi. Bu uchburchakning bir kateti kesmaning gorizontal proyeksiyasiga, ikkinchi kateti esa kesmaning A va V uchlarining applikatalari ayirmasi z ga teng bo’ladi. Bu uchburchakning A₁B₀ gipotenuzasi AV kesmaning haqiqiy o’lchami, A₁V₀=AV bo’lib, B₁A₁B₀= bo’ladi.


a) b)

6.2-shakl
Kesmaning P₂ tekislik bilan hosil qilgan  burchagini aniqlash uchun to’g’ri burchakli A₂B₂A₀ ni yasaladi. Bu uchburchakning bir kateti kesmaning frontal A₂B₂ proyeksiyasiga, ikkinchi kateti esa AV kesma uchlari ordinatalari ayirmasi dy ga teng bo’ladi. Hosil bo’lgan V₂A₀=AV bo’lib, A₂B₂A₀=.

AV kesmaning P₃ tekislik bilan hosil etgan burchagini aniqlash uchun esa to’g’ri burchakli A₃B₃B₀ ni yasaymiz (6.2-shakl, b). Bu uchburchakning bir kateti kesmaning profil A₃B₃ proyeksiyasi, ikkinchi kateti kesma uchlarning P₃ tekislikdan uzoqliklarning abtsissalar ayirmasi dx bo’ladi. hosil bo’lgan A₃B₃B₀ kesmaning P₃ tekislik bilan hosil qilgan burchagi  bo’ladi. YUqorida yasalgan bu to’g’ri burchakli uchburchaklarning A₁B₀, A₂B₀ va A₃B₀ gipotenuzalarni fazoda berilgan AV kesmaning haqiqiy o’lchamiga teng bo’ladi.

Nazorat savollari

1. 
   Nuqtaning markaziy proyeksiyasi qanday yasaladi?
   
2. 
   Qanday holda to‘g‘ri chiziqning markaziy proyeksiyasi nuqta bo‘ladi?
   
3. 
   Markaziy proyeksiyalashda nimalar berilgan bo‘ladi?
   
4. 
   Parallel proyeksiyalash usuli qanday bajariladi?
   
5. 
   Parallel proyeksyalashda nimalar berilgan bo‘ladi?
   
6. 
   To‘g‘ri chiziqning parallel proyeksiyasi qanday yasaladi?
   
7. 
   Parallel to‘g‘ri chiziqlarning proyeksiyalari qanday joylashgan bo‘ladi?
   
8. 
   Qanday holda to‘g‘ri chiziqning parallel proyeksiyasi nuqta bo‘ladi?
   
9. 
   «Ortogonal» so‘zi nimani anglatadi?
   
10. 
    To‘g‘ri chiziqqa tegishli nuqtalarning proyeksiyalari qanday joylashgan bo‘ladi?
    
11. 
    Monj usuli deb nimaga aytiladi?
    
12. 
    Epyur deganda nimani tushunasiz?
    
13. 
    Nuqtaning koordinatalari deb nimaga aytiladi va ular nechta?
    
14. 
    To’g’ri chiziqning ortogonal Proyeksiya qanday quriladi?
    
15. 
    Umumiy vaziyatdagi to’g’ri chiziq deb nimaga aytiladi?
    
16. 
    Qanday vaziyatda to’g’ri chiziq haqiqiy kattalikda Proyeksiyalanadi?
    

1. 
   Proyeksiya degani nima?
   
2. 
   Proyeksiyalar tekisligi deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Qanday proyeksiyalash usullarini bilasiz?
   
4. 
   Markaziy proyeksiyalash usuli deb nimaga aytiladi?
   
5. 
   Parallel proyeksiyalash usuli deb nimaga aytiladi?
   
6. 
   Parallel proyeksiyalarni xossalarini bilasizmi?
   
7. 
   Proyeksiyalash markazi deb nimaga aytiladi?
   
8. 
   Proyeksiyalovchi nur deb nimaga aytiladi?
   
9. 
   Ortogonal proyeksiyalash usuli deb nimaga aytiladi va bu usul qaerlarda qo’llaniladi?
   

1^ Гаспар Монж (1746-1818) – француз олими, геометри. Г.Монжнинг 1799 йилdа нашр этилган Geometrie descriptive асариdа фазовий элементларни текисликdа тасвирлаш усулларини системалаштирган.