1-ma’ruza. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimi haqida tushuncha

Ta’rif: Quyidagi ko‘rinishdagi tenglamalarga kvazichiziqli tenglamalar deyiladi:

(1.4)

Ta’rif: Tenglama chiziqli deyiladi, agarda u barcha xususiy hosilalarga va noma’lum funksiyaning o‘ziga nisbatan ham chiziqli bo‘lsa, ya’ni quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lsa,

(1.5)

Ushbu tenglamada - (1.5) tenglamaning koeffitsientlari, - (1.5) tenglamaning ozod hadi deyiladi.

Ta’rif: Agar (1.5) tenglamada bo‘lsa, u holda (1.5) tenglama bir jinsli tenglama deyiladi. Aks holda, agar bo‘lsa, (1.5) tenglama bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglama deyiladi.
Matematik fizika tenglamalari, oddiy differensial tenglamalari kabi barcha va h.k. belgilar qatnashgan tenglamalar o‘rganilmaydi. Biz faqatgina konkret tenglamalar va tenglamalar sistemasi bilan kifoyalanamiz.

Biz o‘rganadigan tenglamalar matematik fizika masalalarida uchraydi.

Xususiy hosilali differensial tenglamalar bir oz keyinroq o‘rganila boshlandi. Shuni ta’kidlash joizki, xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasi aniq fizikaviy masalalar asosida paydo bo‘ldi, va ular asosiy matematik fizika tenglamalari nomini oldi. Fizikaviy masalalarning matematik modelini o‘rganish XVIII asrning o‘rtalarida analizning yangi yo‘nalishi – matematik fizika tenglamalar, ya’ni fizikaviy hodisalarning matematik modeli fanining paydo bo‘lishiga olib keldi. Bu fanning asosi D'Alamber (1717 - 1783), Eyler (1707 - 1783), Bernulli (1700 - 1782), Lagranj (1736 - 1813), Laplas (1749 - 1827), Puasson (1781 - 1840), Furye (1768 - 1830) va boshqa olimlar ishlari bilan qo‘yilgan.

Matematik fizikaning klassik tenglamalari: Laplas tenglamasi, issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi, to‘lqin tarqalish tenglamasidir.

Shunisi qiziqki, ko‘rinishi jihatdan oddiy bo‘lgan Laplas tenglamasi, keng qo‘llaniladi, u haqida ko‘p kitoblar yozilgan, unga yuzlab maqolalar bag‘ishlangan, ammo shunga qaramay hali u bilan bog‘liq yechilmagan muammolar ko‘p. Laplas tenglamasi elliptik tenglamalar sinfiga kiruvchi eng oddiy tenglamadir.

Laplas tenglamasi kabi issiqlik o‘tkazish tenglamasi ham keng qo‘llanish sohasiga ega bo‘lib, u birinchi marta 1822 yilda J.Furyening «Issiqlikning analitik nazariyasi» ishida taklif etib, o‘rganilgan. Bu matematik fizika metodlarining va trigonometrik qatorlar nazariyasining rivojlanishida katta rol o‘ynadi. Issiqlik o‘tkazish tenglamasi parabolik turdagi tenglamalar sinfiga tegishli.

To‘lqin tarqalish tenglamasi akustikada muhim o‘rin egallaydi va u giperbolik turdagi tenglamalar sinfining vakilidir.

Matematik fizikaning asosiy tenglamalarini o‘rganish, xususiy hosilali differensial tenglamalar va tenglamalar sistemasining klassifikatsiyasini o‘tkazish imkonini berdi. 30-yillarda I.G.Petrovskiy tomonidan birinchi marta elliptik, parabolik, giperbolik tenglamalar sinfi o‘rganilgan. Va hozirgi kunda bu sinflar yetarlicha o‘rganilgan tenglamalar sinfidir. O‘rganilmagan sinfi sifatida aralash turdagi tenglamalar sinfini qarash mumkin.

Differensial tenglamalar nazariyasining matematikaning boshqa: funksional analiz, algebra va extimollar nazariyasi kabi bo‘limlari bilan aloqasi mavjud. Differensial tenglamalar nazariyasi, asosan xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasi matematikaning turli sohalaridagi asosiy tushunchalar, g‘oyalar va usullardan keng foydalanadi va undan tashqari ularning muammolariga va tadqiqotlar xarakteriga ta’sir etadi. Masalan 1747 yilda tor tebranish tenglamasini Dalamber aniqladi va yechimini ham ko‘rinishida oldi, bu yerda va ixtiyoriy funksiyalar. Eyler u uchun qo‘yilgan Koshi masalasining yechimini beradigan formulani aniqladi. (Bu formula hozirgi kunda Dalamber formulasi deyiladi). Qanday funksiyalarni yechim deb qarash mumkin degan savol tug‘ildi. Eyler ixtiyoriy chizilgan egri chiziq yechim bo‘ladi, deb o‘ylagan, Dalamber esa yechim faqat analitik ko‘rinishda ifodalanishi kerak deb hisoblardi, D.Bernulli esa yechim trigonometrik qatorlar ko‘rinishda ifodalanadi, deb hisoblardi. Uning fikriga Dalamber va Eyler qo‘shilmadilar, natijada o‘rtada vujudga kelgan tortishuv sababli matematik analizning asosiy tushunchalaridan bo‘lgan funksiyalarni aniqlashtirish tushunchasi kelib chikdi va funksiyalarni trigonometrik qator ko‘rinishida ifodalash savollari yuzaga keldi. Keyinchalik bu qatorlarni Furye, Dirixle va boshqa katta olimlar o‘rganib chiqib, natijada trigonometrik qatorlar nazariyasi vujudga keldi. Va bu qatorlar nazariyasining rivoji zamonaviy o‘lcham nazariyasining, to‘plam nazariyasining, funksiyalar nazariyasining paydo bo‘lishiga olib keldi. Bunga o‘xshash misollarni ko‘p keltirish mumkin.

Differensial tenglamalar nazariyasining ko‘pgina bo‘limlari shunday rivojlandilarki, natijada ular alohida yo‘nalishlar bo‘lib shakllandilar. Shunday yo‘nalishlardan biri aralash turdagi tenglamalar.

Biror fizik jarayonni to‘la o‘rganish uchun, bu jarayonni tasvirlayotgan tenglamalardan tashqari, uning boshlang‘ich holatini (boshlang‘ich shartlarni) va jarayon sodir bo‘ladigan sohaning chegarasidagi holatini (chegaraviy shartlarni) berish zarurdir.

Matematik nuqtai nazardan bu narsa differensial tenglamalar yechimining yagona emasligi bilan bog‘liqdir.

Oddiy differensial tenglamalar kursidan ma’lumki, tartibli

tenglamaning yechimi ta ixtiyoriy o‘zgarmasga bog‘liqdir, ya’ni . Bu o‘zgarmaslarni aniqlash uchun noma’lum funksiya qo‘shimcha shartlarni qanoatlantirishi kerak.

Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun bu masala murakkabroqdir. Bu tenglamalarning yechimi ixtiyoriy o‘zgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bog‘liq bo‘lib, bu funksiyalar soni tenglamalar tartibiga teng bo‘ladi. Ixtiyoriy funksiyalar argumentlarining soni yechim argumentlari sonidan bitta kam bo‘ladi.

Misol. Quyidagi tenglamaning umumiy yechimini toping: u_xy=0.

Dastlab bo‘yicha, so‘ngra bo‘yicha integrallaymiz, natijada yechimni olamiz. Ko‘rib turganingizdek, xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimida tenglama tartibiga teng miqdorda, ya’ni ikkita funksiya qatnashayapti, bu funksiyalar argumenti esa yechim argumentlari sonidan bitta kam.

Misol. Quyidagi tenglamaning ham umumiy yechimini topaylik:

u_xyy=0.

Yuqoridagidek mulohaza yuritsak umumiy yechim:

.

Misol. Quyidagi tenglamaning ham umumiy yechimini topaylik:

u_xyz=0.

Yuqoridagidek mulohaza yuritsak umumiy yechim:

.

Oxirgi misolda, ko‘rib turganingizdek yechimda tenglama tartibiga mos uchta funksiya qatnashaypti, yechim uch o‘zgaruvchili bo‘lgani uchun bu funksiyalar argumenti ikki o‘zgaruvchili.