1-masala. Ko‘phadlarning yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasini toping
Download 121.18 Kb.
|
Tarjima kitob
|
Butunlik sohasi va maydon ustida ko‘phadlar halqasi. Ko‘phadni ikkihadga bo‘lish va ko‘phadning ildizlari. Ko‘phad ildizlarining soni. Ko‘phadlaning algebraik va funksional ma’noda tengligi. 1-masala. Ko‘phadlarning yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasini toping. halqada halqada Yechish. a) Ko‘phadlarni qo‘shganda ni bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlar qo‘shiladi. Bunda agar had mavjud bo‘lsa, u holda ko‘phadning shu koeffitsienti O ga teng deb hisoblanadi. Shunday qilib, ayirmaning koeffitsientlari agar ko‘phadning oldidagi koeffitsientlaridan ko‘phadni mos koeffitsientlarini ayirib hosil qilinadi. ko‘phadlarning ko‘paytmasi deb , ko‘phadga aytiladi, uning koeffitsientlari formula bilan beriladi. Demak, ko‘phadni topish uchun, ko‘phadning har bir hadini ko‘phdning har bir hadiga ko‘paytirish va o‘xshash hadlarini ixchamlash kerak, ya’ni ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarni qo‘shish kerak. Misolda keltirilgn va ko‘phadlar uchun: b) Berilgan ko‘phadlarning oeffitsientlari 5 modul bo‘yicha chegirmalar sinflari, ya’ni chekli maydonning elementlaridir: oldidagi koeffitsient 0 ga teng, chunki: oldidagi koeffitsient 0 ga teng, chunki: oldidagi koeffitsient 0 ga teng, chunki: Javob: a) b) Izoh: Ko‘phadlar butunlik sohasida berilganligi uchun, ko‘paytmaning darajasi ko‘phadlar darajasining yig‘indisiga teng. halqada ko‘phad ko‘phadga bo‘linishini tekshiring va bo‘linmani toping. Yechish. Ta’rifga ko‘ra ko‘phad noldan farqli ko‘phadga bo‘linadi, deyiladi, agar shunday ko‘phad mavjud bo‘lsaki, bo‘lsa, Bunda bo‘linuvchi bo‘luvchi bo‘linma deyiladi. Berilgan misolda ning darajasi 3ga teng, ning darajasi 2ga teng, shuning uchun agar mavjud bo‘lsa, 1-darajaga ega, ya’ni tenglikni ko‘rib chiqib va uni ko‘phadga yoyib olamiz. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Hosil qilingan sistema to‘plamda yechimga ega. Demak, halqada bunda Izoh: Bu masala oddiy yo‘l bilan ham yechilishi mumkin. halqa maydonning qismi bo‘ladi. Shuning uchun ko‘phadni ko‘phadga qoldiqli bo‘lishlarini, va halqaning elementlari deb qarab, bo‘lishni bajarish mumkin. Qoldiq 0 ga tengligiga va bo‘linma dan ekanligiga ishonch hosil qilib, ko‘phad halqada ko‘phadga bo‘linadi deb hulosa qilish mumkin. 3-masala. halqada ko‘phadni ga qoldiqli bo‘ling. Yechish. Eslatib o‘tamizki, agar butunlik sohasi bo‘lsa (maydon emas) u holda halqada qoldiqli bo‘lish, umuman aytganda ma’noga ega emas. Faqat bo‘luvchi ko‘phad ko‘rinishga ega bo‘lsa, u holda qoldiqli bo‘lish mumkin emas, ya’ni shunday ko‘phad mavjudki va shunday element mavjudki, bo‘ladi. ko‘phadning koeffitsientlari va qoldiq. Gorner sxemasi bo‘yicha topilishi mumkin: bunda lar ko‘phadning koeffitsientlari. ( ning darajalari kamayib borish tartibida yozilgan) va xuddi shu kabi Berilgan holda demak, Gorner sxemasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: Javob: 4-masala. ko‘phadni dagi ko‘paytmasini toping? Yechish. a) dagi ko‘phadning qiymatini bevosita ni ko‘phadga qo‘yib topish mumkin. ni boshqa usul bilan ham topish mumkin. Bezu teoremasidan foydalanamiz. Unga ko‘ra, ko‘phadni ikkihadga bo‘lishdan chiqqan qoldiq ko‘phadning dagi qiymatiga teng. . Qoldiqni Gorner sxemasi bo‘yicha topamiz. b) ning iymatini ni ga bo‘lib, Gorner sxemasi bo‘yicha topamiz. Javob: a) b) 5-masala. Gorner sxemasidan foydalanib, ko‘phadning qiymatlariniyu jadvalini toping va uning ildizlarini toping. Yechish. to‘plam chekli argument ga qiymatlarni berib, ning mos qiymatlarini hisoblab, da aniqlangan funksiyani ko‘ramiz. Ko‘phadning ildizlari esa maydonning bo‘ladigan elementlaridir. bo‘ladi. Qolgan qiymatlarni Gorner sxemasi bo‘yicha topamiz.
Javob: ning ildizi. 6-masala. halqada ko‘phadning va ildizlarning va karraliligini aniqlang va ko‘phadni mos ko‘paytuvchilarga yoyilmasini yozing. Yechish. butunlik sohasining elementi halqaning ko‘phadi uchun faqat va faqat chiziqli ko‘phadga bo‘linsa, ildiz bo‘ladi. Agar ko‘phad ga bo‘linib, ga bo‘linmasa ning elementi ning karrali ildizi deyiladi. ildizning karraliligini aniqlash uchun ko‘phadni ga bo‘lamiz, nolga teng bo‘lgan nolga teng bo‘lgan qoldiqni olamiz; keyin hosil qilingan bo‘linmani yana ga bo‘lamiz, va x.h. shu tarzda qolgan farqli qoldiq qolguncha davom ettiramiz. To‘liq bo‘linmalarning ildizlari bir vaqtda ko‘phadni ham ildizlari bo‘ladi. Barcha hisoblashlarni Gorner sxemasi bo‘yicha olib boriladi. Xuddi shu tarzda ildizning ham karraliligini aniqlaymiz, faqat bu holda ning o‘zini emas, uning ga bo‘lishdan chiqqan bo‘linmani ga bo‘lamiz. Hisoblashlarni yana Gorner sxemasi bo‘yicha bajaramiz: Javob: - ning ikki karrali ildizi, - ning bir karrali (oddiy) ildizi; 7-masala. va larning shunday qiymatlarini topingki, ko‘phad uchun ildiz 2 dan ko‘p bo‘lmagan karrali ildiz bo‘lsin. Yechish. soni ko‘phad uchun 2 dan kam bo‘lmagan karrali ildiz bo‘lishi uchun, ko‘phad hech bo‘lmaganda ga bo‘linish kerak. Shuning uchun ni Gorner sxemasi bo‘yicha ga bo‘lib, qoldiqni nolga tenglaymiz, so‘nga bo‘linmani ga bo‘lib, ikkinchi qoldiqni ham nolga tenglaymiz.
Hosil qilingan tenglamalar sistemasini yechamiz: Javob: ga Cheksiz butunlik sohasida (cheksiz maydonda) ikki va 8-masala. Agar bo‘lsa, halqada darajasi 3dan oshmagan ko‘phadni toping. Yechish. Cheksiz maydonlar ustidagi darajasi dan oshmagan ko‘phad argumentning ta turli qiymatlari bilan bir qiymatli aniqlanadi. ( ta nuqtada ) ko‘phadni topish uchun Lagranjning interpolyatsion formulasidan foydalanamiz: Berilgan masalada bo‘lgani uchun, izlanyotgan ko‘phadni formula bo‘yicha topamiz. Bunda Shunday qilib, Qavslarni ochib, o‘xshash hadlarni ixchamlab, ni hosil qilamiz. Natijalarni tekshirish uchun qiymatlarini topish yetarli. Javob: Chekli maydonda ikkita va ko‘phadlar bitta funksiyani aniqlash mumkin (algebraik ifoda sifatida teng bo‘lish shart emas). Bunday ko‘phadlar ekvivalent ko‘phadlar deyiladi Ekvivalent ko‘phadlar bir xil ildizlarga ega bo‘ladi, u ildizlarni maydonning barcha ekvivalentlarini sinash yo‘li bilan topish mumkin. Chekli maydonning xususiy holi sifatida maydonni olish mumkin (p - tub son). 9-masala. halqada va ko‘phadlar ekvivalent ekanligini ko‘rsating va ularning ildizlarini toping. Yechish. maydon uchta ekvivalentdan tuzilgan 3 modul bo‘yicha chegirmalar sinflaridan tuzilgan va ko‘phadlar bo‘yicha va funksiyalarni ko‘ramiz. Bevosita o‘rniga qo‘yish bilan ekanligini topamiz. Ko‘phadlarning qolgan qiymatlarini va ko‘phadlarni va ga bo‘lib Gorner sxemasi bo‘yicha topamiz: Shunday qilib, ya’ni barcha lar uchun Javob: va larning ildizlari va . 10-masala. halqada ko‘phadni unga ekvivalent bo‘lgan darajasi 4 dan oshmagan ko‘phad bilan almashtiring va har ikkala ko‘phadning ildizlarini toping. Yechish. tub bo‘lganda halqadagi darajasi bo‘lgan ko‘phadni unga ekvivalent bo‘lgan darajasi dan oshmagan ko‘phad bilan almashtirish mumkin. Aslida, agar bo‘lsa, Fermaning kichik teoremasiga ko‘ra, bo‘ladi. Ixtiyoriy natural n ni shaklida ifodalab, ni hosil qilamiz, ya’ni Agar bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Shunday qilib, ixtiyoriy uchun ga egamiz. Xususan, uchun: ko‘phadning ildizlarini x ning o‘rniga dan (yoki ) qiymatlarni qo‘yib, tekshirib ko‘rib topamiz. Hisoblashlarni Gorner sxemasi bo‘yicha olib boramiz: Javob: va ning ildizi. 11-masala. (1) algebraik tenglamani yeching. Yechish. (1) taqqoslamadan (2) tenglamaga o‘tib olamiz. Bunda (1) taqqoslamadagi barcha koeffitsientlarni mos ravishda 5 modul bo‘yicha chegirmalar sinflari bilan almashtiriladi. Agar qandaydir x soni (1) taqqoslamani qanoatlantirsa, u holda mos chegirmalar sinflari (2) tenglamani qanoatlantiradi va aksincha agar qaysidir chegirmalar sinflari (2) tenglamani qanoatlantirsa, u holda bu sinfning barcha sonlari (1) taqqosalamani qanoatlantiradi. Shu ma’noda, halqadagi (1) taqqoslama ( maydondagi) (2) tenglamaga teng kuchlidir. (2) tenglamaning chap tomonidagi ko‘phad ga ekvivalent. Natijada, (2) tenglama tenglamaga teng kuchli. Oxirgi tenglama ikkita: ildizlarga ega. Demak, dastlabki taqqoslamaning yechimlari va shaklidagi sonlar bo‘ladi. Javob: Mashqlar. Ko‘phadlarning yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasini toping. Bu yerda butun Gauss sonlari halqasi. Gorner sxemasidan foydalanib, halqada ko‘phadni chiziqli ikkihadga bo‘ling: Gorner sxemasidan foydalanib, ni toping: Gorner sxemasidan foydalanib, ko‘phadni chiziqli chiziqli ikkihadga bo‘ling: Gorner sxemasidan foydalanib, ko‘phadning ildizning karraliligini aniqlang va ni mos ko‘payutvchilarga yoying: va ning ko‘phad uchun soni dan kam bo‘lmagan karrali ildiz bo‘ladigan qiymatlarni toping. Agar qiymatlar berilgan bo‘lsa, Lagranj formulasidan foydalanib, halqada darajasi n dan oshmagan ko‘phadni toping. halqada ko‘phadga ekvivalent bo‘lgan eng kichik darajali ko‘phadni toping. algebraik taqqoslamani avval , (bunda ) tenglamaga o‘tkazib, so‘ngra ko‘phadga ekvivalent bo‘lgan (bunda ekvivalent bo‘lgan, darajasi dan oshmagan ko‘phad) tenglamaga o‘tkazib yeching. halqaning ( tub son) dan oshmagan darajaga ega bo‘lgan ikkita ekvivalent, ixtiyoriy f va g ko‘phadlari algebraik ifodalar sifatida teng ekanligini ko‘rsating. №2. Ko‘phadlar halqasida bo‘linish. Ko‘phadlarning EKUBi va EKUKi. Maydon ustida ko‘phadlar. Qoldiqli bo‘lish. Ko‘phadlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi va uning chiziqli ifodasi. Evklid algoritmi. Eng kichik umumiy karrali. Rezultant. 1-masala. ko‘phadni ko‘phadga qoldiqli bo‘lishni bajaring. Yechish. Ixtiyoriy maydon ustidagi ko‘phadlar halqasida qoldiqli bo‘lish haqidagi teorema o‘rinlidir. dan olingan ixtiyoriy va ko‘phadlar uchun, da yagona va ko‘phadlar mavjudki, ular shartlarni qanoatlantiradi. Ham ko‘phadning darajasi deb qabul qilingan, demak, ham 2)-shart bajariladi. ko‘phad to‘liqsiz bo‘linma (yoki bo‘linma), esa ni ga bo‘lishdan chiqqan qoldiq deyiladi. Berilgan masalada va ni ratsional sonlar maydonida ustidagi ko‘phadlar sifatida qaraymiz. Ko‘phadlarni bo‘lish ko‘p xonali sonlarni bo‘lish kabi “burchak” usulida bajariladi. Avval bo‘linuvchining yuqori hadi ni bo‘luvchining yuqori hadi ga bo‘lamiz, bo‘linmaning yuqori hadi ni hosil qilamiz. So‘ngra bo‘luvchining barcha hadlarini ga ko‘paytiramiz va ularni bo‘linuvchining “mos” hadlari tagiga yozamiz, hosil bo‘lgan ko‘paytmalarni bo‘linuvchidan ayiramiz. So‘ngra ayirmaning bosh hadini bo‘luvchining bosh hadi ga bo‘lamiz va h.k. Shu jarayonni ayirmada darajasi 2 dan kichik bo‘lgan qolguniga qadar davom ettiramiz. Mos hisoblashlarni bajarib, quyidagilarni hosil qilamiz. Javob: 2-masala. ko‘phadni ko‘phadga qoldiqli bo‘lishni bajaring. Yechish. va ko‘phadlarni butun sonlar halqasida qarash mumkin. Qoldiqli bo‘lish haqidagi teorema halqada ham o‘rinli Agar bo‘linuvchining bosh hadi va ga bo‘linsa, bunda bo‘luvchining bosh hadi, bo‘luvchining darajasi, bo‘luvchining darajasi. Berilgan holda va natijada, bo‘linma va qoldiq butun koeffitsientli ko‘phadlar. Javob: 3-masala. halqada agar bo‘linuvchi, bo‘linma va qoldiq ma’lum bo‘lsa, bo‘luvchini toping. Yechish. bo‘luvchini topish uchun tenglikdan foydalanamiz, bu tenglikdan Shunday qilib, bo‘luvchini topish uchun ayirmani bo‘linmaga bo‘lamiz. Javob: 4-masala. va ning qanday qiymatlarida ko‘phad ko‘phadga bo‘linadi. Yechish. ko‘phad ko‘phadga faqat ni ga bo‘lishdan chiqqan qoldiq nolga teng bo‘lgandagina bo‘linadi. Javob: 5-masala. halqada va ko‘phadlarni eng katta umumiy bo‘luvchisi ni toping. Yechish. va ko‘phadlarning eng katta umumiy bo‘luvchisidir. EKUBni topish uchun Evklid algoritmi – ketma-ket bo‘lish usulidan foydalanamiz. Ko‘phadlarning EKUBi 0-darajali ko‘phad aniqligida aniqlanganligi uchun, ko‘phadlarni noldan farqli ixtiyoriy songa ko‘paytirish mumkin. Berilgan masalada va lar butun sonli, ya’ni bo‘lima va qoldiqda kasr koeffitsientlar bo‘lmasligi uchun, ni ga ko‘paytirish kerak, bunda ning bosh koeffitsienti ning darajasi m ga teng. Berilgan holda Evklid algoritmining tenglamalar sistemasini yozamiz: Oxirgi noldan farqli qoldiq ( ) ko‘phadlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi bo‘ladi. Odatda maydonda ko‘phadlarning EKUBi butun koeffitsientlar (primitive ko‘phad) va musbat bosh koeffitsient bilan olinadi. Javob: Izoh: ni ga bo‘lish jarayonida va ko‘phadlarning o‘zinigina emas, balki “oraliq qoldiqlar”ni bo‘linmada butun koeffitsient ko‘phadlar uchun xohlagan songa (noldan farqli) ko‘pytirish mumkin. Bunda, albatta bo‘linma o‘zgaradi, lekin bo‘lishdan chiqqan qoldiq (o‘zgarmas ko‘paytuvchi aniqligida) o‘zgarmay qoladi. Ko‘paytirishdan keying natijani avvalgisidan farqlash uchun ikkitalik chiziq bilan ajratamiz. Masalan, birinchi qadamda bunday “bo‘lish” quyidagicha bo‘ladi: 6-masala. halqada va ko‘phadlarning eng katta umumiy bo‘luvchisini toping: Yechish. 1) ni ga bo‘lamiz: ni ga bo‘lamiz. Gorner sxemasidan foydalanamiz: Demak, maydonning noldan farqli elementi halqaning ixtiyoriy ko‘phadi uchun trivial bo‘luvchisi ekanligidan ga qoldiqsiz bo‘linishi kelib chiqadi. Shunday qilib, va ko‘phadlar o‘zaro tub Javob: 7-masala. halqada ko‘phadlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi ni toping. Yechish. Avval va ko‘phadlarni EKUbini topamiz: so‘ngra ikkita va larning EKUBi ni topamiz. Uchta ko‘phadning EKUBi ustma-ust tushadi: Zaruriy hisoblashlarni bajaramiz: ekanligini hisobga olsak, ni ga bo‘ishni Gorner sxemasi bo‘yicha bajaramiz: Javob: 8-masala. halqada ikkita ko‘phadlarning EKUBining chiziqli ifodasini Evklid algoritmi yordammida toping. Yechish. Agar dagi va ko‘phadlarning eng katta umumiy bo‘uvchisi bo‘lsa, u holda halqada shunday va ko‘phadlar mavjudki, (1) bo‘ladi. , va ko‘phadlarni topish uchun Evklid algoritmidan foydalanamiz. ni ga bo‘lamiz: ni ga bo‘lamiz: ni ga bo‘lamiz: Evklid algoritmining tengliklar sistemasini yozamiz: (2) (3) ko‘phadlarning EKUBi 0-darajali ko‘phad aniqligida bilan bir xil bo‘ladi. EKUBning chiziqli ifodasini topish uchun avval ni (3) tenglikdan topamiz: So‘ngra, o‘ng tomondagi ning o‘rniga (2) tenglikdan ifodani qo‘yamiz va va ga nisbatan “o‘xshash hadlar”ni ixchamlaymiz: oxirgi tenglikning o‘ng tomoniga topilgan va ko‘phadlarni qo‘yamiz va hosil bo‘lgan tenglikni har ikkala qismini ga bo‘lamiz: Javob: Izoh: va bo‘lsin. EKUBning (1) ko‘rinishdagi barcha ifodalari orasida har doim bo‘lgani mavjud. Avvalgi masalada biz yuqoridagi shartlarni qanoatlantiruvchi Download 121.18 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|