1. Matritsalar haqida ma’lumotlar

teskari matritsani algebraik to’ldiruvchilar yordamida yechish
a)uchta  matritsalar ko’paytmasi assosativ;
b) ikkita turli xosmas matritsalar ko’paytmasi yana xosmas matritsadir .
v) xosmas matritsaga teskari matritsa mavjud va yagona degan teoremaga ko’ra har bir xosmas matritsa uchun yagona teskari matritsa mavjud.
g) har qanday birlik matritsa xosmas matritsa bo’ladi
bu shartlarni bajarilishi turli xosmas matritsalar to’plamini ko’paytirish amaliga nisbatan gruppa ekanini ko’rsatadi. Endi xosmas  matritsaga teskari bo’lgan matritsani topishning quyidagi usulini bayon qilamiz:
 va  matritsalarni yonma-yon, ya‘ni ushbu

ko’rinishda yozib, ning ustida qanday elementar almashtirishlar bajarilsa,  ning ustida ham o’sha elementar almashtirishlarni bajarish kerak. Bu jarayonni  matritsa o’rnida birlik matritsa hosil bo’lguncha davom ettirib,
ko’rinishdagi matritsani hosil qilamiz. Bu matritsaning o’ng qismida  ga teskari  matritsa hosil bo’ldi, ya‘ni bo’ldi .

Misollar : xosmas matritsaga teskari matritsani toping.

matritsani  dagi birinchi va  dagi ikkinchi ustunini almashtiramiz

Birinchi ustunni  ga va ga ko’paytirib ikkinchi va uchinchiga qo’shamiz. U holda

matritsa hosil bo’ladi. Bu matritsada ikkinchi ustunni  ga ko’paytirib birinchi ustunga ikkinchi ustunni ga ko’paytirib uchunchi ustunga qo’shamiz. U holda

matritsa hosil bo’ladi. Bu matritsa 3- ustunni 2-ustunga keyin esa 1- ustunga qo’shamiz va shu

Matritsa hosil qilamiz. Bu matritsa 3- ustunini  ga ko’paytiramiz. Bunda

matritsani hosil qilamiz. Demak,

bo’ladi.Haqiqatdan ham,


kelib chiqadi.
_{Teskari matritsa va ularga doir misollar. Ushbu 𝐴 kvadrat matritsani qaraylik: 𝐴 = 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 … … … … … … … . . 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 (1) Agar 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐸 bo’lsa, 𝐵 matritsa 𝐴 matrit}sa uchun teskari matritsa deb ataladi. 𝐴 matritsaga teskari matrisani 𝐴 −1 kabi belgilanadi. 1-teorema. Agar 𝐴 matritsa xos, ya’ni 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 bo’lsa, u holda 𝐴 −1 teskari matritsa mavjud emas. Isbot. 𝐴 matritsa uchun 𝐴𝐵 = 𝐸 bo’ladigan 𝐵 matritsa mavjud deb faraz qilaylik_{. U holda det 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐸. 7-xossaga asosan: 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐸. Biroq, 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 0 , 𝑑𝑒𝑡𝐸 ≠0 ekanligini hisobga olsak, 0=1 ni hosil qilamiz. Bu ziddiyat teoremani isbot qiladi. 2-teorema. Agar 𝐴 matritsa xosmas, ya’ni 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠0 bo’lsa, u holda uning uchun 𝐴 −1 teskari matritsa mavjud. Isbot. (1) matritsaning determinantini ∆ orqali ifodalaymiz: ∆= 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2}

𝐴 =

Agar
𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐸
_{bo’lsa, 𝐵 matritsa 𝐴 matritsa uchun teskari matritsa deb ataladi.}
𝐴 matritsaga teskari matrisani 𝐴⁻¹ kabi belgilanadi.
_{teorema. Agar 𝐴 matritsa xos, ya’ni 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 bo’lsa, u holda 𝐴−1teskari matritsa mavjud emas.
Isbot. 𝐴 matritsa uchun 𝐴𝐵 = 𝐸 bo’ladigan 𝐵 matritsa mavjud deb faraz qilaylik. U holda det 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐸.
7-xossaga asosan: 𝑑𝑒𝑡 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐸. Biroq,
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 0 , 𝑑𝑒𝑡𝐸 ≠0 ekanligini hisobga olsak, 0=1 ni hosil qilamiz. Bu ziddiyat teoremani isbot qiladi.
teorema. Agar 𝐴 matritsa xosmas, ya’ni 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠0 bo’lsa, u holda uning uchun 𝐴−1teskari matritsa mavjud.
Isbot. (1) matritsaning determinantini ∆ orqali ifodalaymiz:
Matritsa rangi uning ustida quyidagi almashtirishlar bajargandao zgarmaydi:ʻ1.matritsa biror satri (ustuni) har bir elementini biror noldan farqli songako paytirganda;ʻ2.matritsa satrlari (ustunlari) o rinlari almashtirilganda;ʻ3.matritsa biror satri (ustuni) elementlariga uning boshqa parallel satri (ustuni)mos elementlarini biror noldan farqli songa ko paytirib, so ngra qo shganda;ʻʻʻ4.barcha elementlari noldan iborat satrni (ustunni) tashlab yuborganda;5.matritsa transponirlanganda}

1.