1. Matritsalar haqida ma’lumotlar

Qoʻshma matritsa tushunchasi.

1-ta’rif. ^A kvadrat matritsaning har bir


^aik

elementini unga mos algebraik

toʻldiruvchisi bilan almashtirish natijasida hosil qilingan matritsa ustida transponirlash amalini bajarishdan hosil boʻlgan ^A matritsa berilgan matritsaga qoʻshma matritsa deyiladi.
Masalan,

^{ a}11 ^a12
... a_{1 j}
... a_{1n }

^ a a ... a ... a ^
_ 21 22 2 j 2n _
^ ... ... ... ... ... ... ^

A  _{ a a}
... a
... a ^

_ i1 i 2 ij in _
^ ... ... ... ... ... ... ^
 a a ... a ... a ^
_ n1 n 2 nj nn _
matritsaga qoʻshma matritsa

^{ A}11 ^A21
... A_i1
... A_{n1 }

^ A A ... A ... A ^
_ 12 22 i 2 n2 _

^ ... ... ... ... ... ... ^

A  _{ A A}
... A
... A ^

_ 1 j 2 j ij nj _
^ ... ... ... ... ... ... ^
 A A ... A ... A ^

koʻrinishda boʻladi.

 1n 2n in nn 

_ 1 2 3 _
A  ^ 0 4 1^

1. 
   misol. Quyidagi
   

 

5 0 0
 
^{ } matritsa uchun qoʻshma matritsa topilsin.

Yechish. Matritsaning barcha elementlariga mos algebraik toʻldiruvchilarni hisoblaymiz:

A  (1)^11  ^4
1  0,
A  (1)^12  ^0
1  5,

¹¹ _{0 0} 12 _{5 0}

^A13
 (1)^13  ^{0 4}  20,
5 0


^A21
 (1)^21  ^{2 3}  0,
0 0

A  (1)^22  ^{1 3}  15,
A  (1)^23  ^{1 2}  10,

22 _{5 0}
A  (1)^31  ^{2 3}  10,
23 _{5 0}
A  (1)^32  ^{1 3}
 1,

³¹ 4 1
A  (1)^33  ^{1 2}  4.
³² 0 1

33 _{0 4}

Shunday qilib, berilgan ^A kvadrat matritsaga qoʻshma boʻlgan ^A matritsa

_ 0 5
20 _T
_ 0 0 10 _

A  ^ 0 15 10 ^  ^ 5 15 1 ^
   
^ 10 1 4 ^{ } 20 10 4 ^
   
koʻrinishda aniqlanadi.

2. 
   Teskari matritsa ta’rifi. Xos va xosmas matritsalar. Teskari matritsa mavjudligining zaruriy va etarli sharti.
   

2. 
   ta’rif. Agar ^A kvadrat matritsaning determinanti noldan farqli bo‘lsa, ya’ni
   

^{det A  0} bo‘lsa, ^A matritsa xosmas matritsa deyiladi.

3. 
   ta’rif. Agar ^{det A  0}
   

bo‘lsa, ^A matritsa xos matritsa deyiladi.

4. 
   ta’rif. Agar ^A kvadrat matritsa uchun
   

AA^1  A^1 A  E
tenglik bajarilsa, u

holda
_A1
matritsa ^A matritsaga teskari matritsa deyiladi.

1. 
   teorema. ^A kvadrat matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lishi uchun ^A
   

matritsa xosmas matritsa bo‘lishi zarur va etarli.

Isbot. Zaruriyligi: Faraz qilaylik ^A matritsa uchun
_A1
teskari matritsa mavjud

bolsin, u holda determinantning xossasiga ko‘ra,
^{det( A)det( A}1^{)  det( AA}1^{)  det(E) 1} boʻladi. Bundan, agar teskari matritsa mavjud

boʻlsa
det( A) 
¹  0 det( A^1)


ekanligini kelib chiqadi.


Etarliligi: Faraz qilaylik A n tartibli kvadrat matritsa bo‘lib, matritsaga qo‘shma ^A matritsani quramiz
A  0
bo‘lsin.. ^A


^{ A}11
^{ A}12
^A21
^A22
...
...
^Ai1
^Ai 2
...
...
^An1 ^
An2 ^


A  ^
...
...
...
...
...
... ^


^{ A}1 j
^A2 j
...
^Aij
...
^Anj ^

^ ... ... ... ...
... ... ^

 
A A ... A ... A
 1n m 2 in nn 
^A va ^A matritsalar ko‘paytmasini qaraymiz:

^^a11	^a12	...	^a1 j	...	^a^1^n^^^A11	^A21	...	^Ai1	...	^An1 ^
^^a21 ^... AA  ^ ^^ai1 ^... ^^an1	^a22 ... ^ai 2 ... ^an2	... ... ... ... ...	^a2 j ... ^aij ... ^anj	... ... ... ... ...	^a^2^n^^^A12 ^...^^... ^ain ^^^A1 j ^...^^... ^a^nn^ ^A1n	^A22 ... ^A2 j ... ^Am 2	... ... ... ... ...	^Ai 2 ... ^Aij ... ^Ain	... ... ... ... ...	^An2 ^  ... ^ ^Ann 	.

  _

... ^

 _{ }
^Anj ^

  _{ }
 


^AA ko‘paytmaning har bir elementi
a_i1 A_j1  a_{i 2} A_j2      a_in A_jn
yigindidan iborat bo‘ladi. U holda Laplas teoremasi va uning natijasiga ga ko‘ra
n
^ais ^Ajs ^{ }ij ^A
s 1 _,

Qaysiki, bu yerda


^ij


_1 при

_0


^ при


i  j, i  j.

Bundan ^A va ^A matritsalar ko‘paytmasi, quyidagi skalyar matritsaga teng boladi.

Bundan,
 A

_ 0


^ ...

0


0

A

... 0
...
...
...
...
0 


... ^
0 _{ }


A


_ 1



A  ^{ 0}


...
_ 0
0
1
... 0
...
...
...
...
0 _

0 _
...^

1 _{ .}

Xuddi shu usulda

AA 
^{A E} . (1)

AA  A E
(2)

Tenglikni keltirib chiqarish mumkin. U holda (1) va (2) tengliklardan

yoki
_A1 _
¹  A
,


^{ A}11

^{ A}12


^A21 ^A22
...


...
^Ai1 ^Ai 2
...


...
^An1 ^



^An2 ^



_A^1 _{ } ...
...
...
...
...
... _

^{ A}1 j

^A2 j
...
^Aij
...
^Anj ^


^ ... ... ... ... ... ... ^
 A A A A ^

 ¹ⁿ
m 2
...
in
...
ⁿⁿ 

A

A

A

A
 
^{ } (3)
Kelib chiqadi. Haqiqatan ham (1) dan

AA^1  A  ¹ A 
¹ A  A  E
,

va (2) dan bu qurilgan

Teorema isbotlandi.

^A1 matritsa ^A matritsaga teskari matritsa bo‘ladi, ya’ni
A^1A  E _.

Yuqoridagi (3) tenglik teskari matritsani hisoblash qoidasini beradi.

Izoh. Teskari matritsa
_A1
yagona bo‘ladi. Haqiqatan, agar biz ^A matritsaga

teskari boshqa bir ^X matritsa mavjud desak, ya’ni 1) ^{AX  E}
bo‘lsa, u holda bu

tenglikni chap tarafdan
_A1
matritsaga ko‘paytirib
X  A^1_{, 2)} XA  E
bo‘lsa, u

holda bu tenglikni o‘ng tarafdan bo‘lamiz.
_A1
matritsaga ko‘paytirib
X  A^1
ga ega

2. 
   tеореmа. Xos matritsaga teskari matrirsa mavjud emas.
   

2. 
   misol. Berilgan matritsa:
   

ga teskari matritsani toping:
_ 1 2 3 _

 
A  ^ 4 5 6 ^

 
^ 7 8 0 ^

Yechish. 1) ^A matritsaning determinantini topamiz:
det A  1 ^{5 6}  2  ^{4 6}  3 ^{4 5} 
8 0 7 0 7 8
 48  2  _42_  3_32  35_  48  84  9  27  0.

det A  0
demak,
^A1 mavjud.

2. 
   ^A matritsa barcha elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz:
   

^A11 ^A12
^A13
 _1_11  ^{5 6}  5  0  6  8  48;
8 0
 _1_12  ^{4 6}  _4  0  6  7_  42;
7 0
 _1_13  ^{4 5}  4  8  5  7  3;
7 8

A   ^{2 3}  24; A  ^{1 3}  21;
21 _{8 0} 22 _{7 0}


A   ^{1 2}  6; A  ^{2 3}  3;
23 _{7 8} 31 _{5 6}


A   ^{1 3}  6; A  ^{1 2}  3;
32 _{4 6} 33 <sub>4 5


</sub> 48 24 3_
A  _ A _T  ^ 42 21 6 ^
ij _{ }
^ 3 6 3^

2. 
   ^{ } matritsani yozamiz.
   
3. 
   ^A1 matritsani topamiz:
   

_{ }16 8 _ 1 _

_ 48 24

3_
9 9 9 ^

 

_A1 _
¹  A 



¹  ^ 42



21 6
_{  } 14 _ 7 2 _.

det A
₂₇   _
9 9 9 ^

^{ 3 6 3}  

    _{1 2
} 1 

Tekshiramiz:

_{ }16 8





_ 1 <sub>



</sub> 9 9 9 _

^{ 9 9 9 } _ 1 2 3_{ } 1 0 0 _
 



A^1  A  ^{ 14}  ^{7 2 }  ^ 4 5 6 ^  ^ 0 1 0 ^;

^ 9 9 9
_    

  ^{ 7 8 0   0 0 1 }

 _ 1 2
_ 1 
   

_ 9 9 9 _{
 }16 8



_ 1 _


_ 1 2 3_
9 9 9 ^
_ 1 0 0 _

 



A  A^1  ^ 4 5 6 ^  ^{ 14}  ^{7 2 }  ^ 0 1 0 ^.
  _{ 9 9 9 }  
^{ 7 8 0 }   ^{ 0 0 1 }
    _{1 2}  ₁   



2. 
   misol. Uchburchakli matritsa
   

9 9 9 _

_ 1 0 0_
 


A  _ 2 1 0_



2

1
_{ 1} 
uchun teskari matritsani toping.
Yechish. Determinantni hisoblaymiz:

1 0
A  2 1
1 1
0
0  2  0
2 _.

Qo‘shma matritsani tuzamiz:
_ 2

0 0_







1
A  _ 4

2 0_

^A matritsani


A  2
_ 1  1 ^
ga bo‘lib,

 
^ 1 0 0 ^



0


A^1  ^ 2 1 ^

_ 1 _ 1
 2 2
Teskari matritsaga ega bo‘lamiz.
1 _
2  _.

Teskari matritsaning asosiy xossalari.

1) A^1 
_A 1_;

2) A^11  A;
3) A  B^1  B^1  A^1;

.
4) A^^1  A^1^

3. 
   xossaning isbotini ko‘ramiz:
   

,
_ AB_B^1A^1_  A_BB^1_ A^1  _ AE_ A^1  AA^1  E
_B^1A^1_ AB_  B_ A^1A_B^1  _BE_B^1  BB^1  E
bundan