1-mavzu. Aniq integral Reja

1-mavzu. Aniq integral


Reja:

1. 
   Aniq integral ta’rifi.
   
2. 
   Aniq integral yordamida yuzalarni, yoy uzunligini, o’q atrofida aylanishdan hosil bo’ladigan jism hajmlarini hisoblash
   
3. 
   Jism hajmini hisoblash.
   

Aniq integral
Aniq integral biror bir intervalda aniqlangan funksiya grafigining egri chizig`i va bu intervallardan hosil bo`lgan sohaning yuzini aniqlaydi. Masalan, funksiyani oraliqda qaraymiz.

Bu uchburchakning yuzi ekanligi geometriyadan ma’lum. Biz bu misol yordamida egri chiziqlar bilan chegeralangan sohalarning yuzini iteratsiya yordamida hisoblash uchun matematik usul bilan tanishamiz.
Buning uchun biz birinchi navbatda funksiya aniqlangan intervalni kichik kesmalarga ajratamiz. Ixtiyoriy kesmani kichik qismlarga ajratish quyidagicha amalga oshiriladi.  kesmaga tegishli nuqtalardan foydalanib  ixtiyoriy ravishda  ta qismiy kesmalar:

hosil qilamiz. Bu yerda
.
Kichik kesmalar uzunligini mos ravishda kabi belgilab olamiz. Bizning misolimizda
.
Masalan, bo`lib, bo`lsa, biz quyidagiga ega bo‘lamiz.

Demak, .
Ixtiyoriy nuqta olamiz. U holda
(4.2.1)
Yig’indi Riman yig’indisi deb ataladi.
Bizning misolimizda
.
U holda Riman integrali

.

Har bir nuqtalar ixtiyoriy bo`lgani uchun bu nuqtalarni shunday tanlash mumkinki Riman yig`indisini tashkil etuvchi to‘g’ri to`rtburchaklar yig’indisidan iborat yuza egri chiziq va kesma bilan chegeralangan soha yuzidan katta , y`ani

yoki bu to‘g’ri to`rtburchaklar yig’indisidan iborat yuza egri chiziq va kesma bilan chegeralangan soha yuzidan kichik , y`ani

bo‘lishi mumkin.
Bizning misolimizda deb olsak, u holda

,
.


Bu topilgan va qiymatlar orasida shunday qiymat borki . Bizning misolimizda qiymatni topish uchun deb olamiz. U holda deb olib va qiymatlarni hisoblaymiz:
,
.
Bu yerda
,
.
U holda
, .
.
kesmada aniqlangan funksiya va son berilgan bo`lsin.

Ta`rif.3 Har qanday kichik son uchun shunday kichik musbat son topilsaki, tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda funksiya kesmada integrallanuvchi deyiladi. Bu yerda .

son esa funksiyaning kesmadagi aniq integrali deb ataladi va quyidagicha yoziladi:
.
Bu yerda, integralning quyi,  integralning yuqori chegarasi deyiladi.
Shunday qilib, aniq integralning ta`rifidan:
. (4.2.2)