1-Mavzu: Ehtimolliklar fazosi Reja Elementar hodisalar fazosi. Hodisalar va ular ustida amallar

Misollar.

1. 
   A hodisa 3-chi misoldagi tajribada gerb va raqam tushishdan iborat
   

bo‘lsin. Bu holda A ={ω₂,ω₃}.
Bu hodisaga qarama-qarshi hodisa:

1. 
   ={ω₁,ω₄}.
   
1. 
   B hodisa 3-chi misoldagi tajribada hech bo‘lmaganda bir marta gerb tushishdan iborat bo‘lsin. Bu holda
   
   1. 
      ={ω₁,ω₂,ω₃ }.
      

Bu hodisaga qarama-qarshi hodisa: B ={ω₄}.
Endi tasodifiy hodisalar ustida amallarni ko‘rib chiqaylik.

1. 
   Agar A hodisani tashkil etgan elementar hodisalar B hodisaga ham tegishli bo‘lsa, A hodisa B hodisani ergashtiradi deyiladi va A⊂ B kabi belgilanadi (1-rasm).
   

1-rasm

2. 
   Agar A⊂ B va B ⊂ A, ya’ni A hodisa B ni ergashtirsa, va aksincha, B hodisa A ni ergashtirsa, A va B hodisalar teng deyiladi va A = B kabi belgilanadi.
   
3. 
   A va B tasodifiy hodisalarning yig‘indisi deb, shunday C hodisaga aytiladiki, bu hodisa A va B hodisalarning kamida bittasi ro‘y berganda ro‘y beradi va C = A∪ B (yoki C = A + B ) kabi belgilanadi (2-rasm).
   

2-rasm.

4. 
   A va B tasodifiy hodisalarni ko‘paytmasi deb, shunday C hodisaga aytiladiki, bu hodisa A va B hodisalarning bir paytda ro‘y berganda ro‘y beradi va C = A∩ B (ёки C = A⋅ B) kabi belgilanadi (3-rasm).
   

3-rasm

5. 
   A va B tasodifiy hodisalarni ayirmasi deb, shunday C hodisaga aytiladiki, A hodisa ro‘y berib, B hodisa ro‘y bermaganda ro‘y beradi va C = A \ B (ёки C = A− B) kabi belgilanadi (4-rasm).
   

4-rasm

6. 
   Agar A∩ B =∅ bo‘lsa, A va B hodisalar birgalikda bo‘lmagan hodisalar
   

deyiladi (5-rasm).

5-rasm

7. 
   Agar A_i A_j =∅ (i ≠ j) ва A₁ + A₂ +...+ A_n = Ω bo‘lsa, u holda A₁, A₂,
   

…, A_n lar hodisalar to‘la guruхini tashkil etadi deyiladi.
2. Diskret elementar hodisalar fazosi. Ehtimollikning klassik ta’rifi
Diskret elementar hodisalar fazosi – bu chekli yoki sanoqli elementar hodisalardan iborat to‘plam, ya’ni
Ω ={ω₁,ω₂, ...,ω_n}, Ω ={ω₁,ω₂, ...,ω_n,...}.
Oldingi paragrafda ko‘rib o‘tilgan 1-5 misollarda elementar hodisalar fazosi
Ω chekli bo‘lib, 2, 6, 4, 36 va 2ⁿ elementdan iborat edi.
Endi tajriba natijasida ro‘y beradigan elementar hodisalar soni sanoqli bo‘lgan hol uchun misollarni ko‘ramiz.

1. 
   Тajriba telefon stansiyasiga tushgan “chaqiriqlarni” o‘rganishdan iborat bo‘lsin. Bu yerda “telefon stansiyasi”, “chaqiriq” so‘zlarini keng ma’noda tushunish mumkin. Masalan, abonentni telefon stansiyaga ulash, savdo magaziniga xaridorlar murojaati, elektron hisoblash mashinasining biror bloki orqali o‘tadigan informatsion signallar, registratsiya qilingan kosmik zarrachalar va hakozolar. Agar bir vaqt birligi (sekund, minut, soat, yil) davomida tushadigan “chaqiriqlar” soni bilan qiziqsak, bu tajriba uchun elementar hodisalar fazosi
   

Ω ={ω₁,ω₂, ...,ω_n,...}
bo‘lib, bu yerda ω_i – i ta “chaqiriq” tushish elementar hodisasini bildiradi.

Umumiy “chaqiriqlar” soni hohlagancha bo‘lishini hisobga olib, bu tajribani modellashtirishda Ω ni sanoqli to‘plam va Ω = ∞ deb hisoblash maqsadga muvofiq bo‘ladi.

2. 
   Тajriba tangani birinchi bor raqam tushguncha tashlashdan iborat bo‘lsin. ω₁ ={R} – birinchi tashlashdayoq raqam tushish hodisasi.
   

ω₂ ={GR}– birinchi tashlashda gerb, ikkinchi tashlashda raqam tushish hodisasi.
ω₃ ={GGR}– birinchi va ikkinchi tashlashda gerb, uchinchisida raqam
tushish hodisasi.
………………………………………………………………………….
⎧ ⎫
ω_i = ⎨GGG...GR⎬ – birinchi, ikkinchi va hakozo i −1ta tashlashda gerb, i -
⎩ i−1 ⎭
tashlashda raqam tushish hodisasi. Bu holda Ω ={ω_i, i =1,2,...,n,...} bo‘ladi va elementar hodisalar soni sanoqli ekanligini ko‘rish mumkin.
Ω fazo to‘plam sifatida har хil strukturada bo‘lishi mumkin.
1-ta’rif. Agar Ω to‘plamda aniqlangan P(ω) funksiya uchun quyidagi
shartlar bajarilsa:
,
u ehtimolliklar taqsimoti deyiladi.
Iхtiyoriy A hodisaning (A⊂ Ω) hodisa ehtimolligi deb quyidagi songa
aytiladi:
P(A)= ∑P(ω).
ω∈А
Masalan, tajriba simmetrik tangani bir marta tashlashdan iborat bo‘lsin. Bu holda elementar hodisalar ω₁ ={G} – gerb tushish hodisasi; ω₂ ={R} – raqam tushish hodisasi.
Ularning ehtimolliklari quyidagiga teng:

1. 
   1
   

P(ω₁)= ; P(ω₂ )= .

2. 
   2
   

Amalga oshishi bir хil imkoniyatli bo‘lgan hodisalar teng imkoniyatli hodisalar deyiladi.
Тeng imkoniyatlilik shuni bildiradiki, A₁,A₂,...,A_n hodisalarning ro‘y berishda hech biri qolganlariga nisbatan biror ob’ektiv ustunlikka ega emas.
Masalan, o‘yin kubigining simmetrik bir jinsliligidan 1,2,3,4,5,6 ochkolardan istalganining chiqishi teng imkoniyatli deb hisoblash mumkin. 2-ta’rif (ehtimollikning klassik ta’rifi). Ω elementar hodisalar fazosi chekli va barcha elementar hodisalar teng imkoniyatli bo‘lsin, ya’ni
1
P(ω₁)= P(ω₂)=⋅⋅⋅= P(ω_n) = .

n
A hodisaning ehtimolligi deb, tajribaning A ga qulaylik beruvchi natijalari sonini ularning barcha natijalari soniga nisbatiga aytiladi va n(A)
P(A) =

n
bilan aniqlanadi.
Bu yerda n(A) – A ga tegishli elementlar soni.
Klassik ta’rif bo‘yicha aniqlangan ehtimollik хossalari.

1. 
   Muqarrar hodisaning ehtimolligi 1 ga teng.
   

n(Ω) n
P(Ω) = = =1. n n

2. 
   Mumkin bo‘lmagan hodisalarning ehtimolligi 0 ga teng.
   

n(∅) 0
P(∅) = = = 0. n n

3.Тasodifiy hodisaning ehtimolligi musbat son bo‘lib, 0 va 1 orasida bo‘ladi. 0 ≤ n(A) ≤ n ekanligidan 0 ≤ P(A) ≤1 kelib chiqadi.
Ehtimollikni topishga doir masalalarni yechishda kombinatorika elementlari muhim rol o‘ynaydi, shuni e’tiborga olib kombinatorikaning ba’zi formulalari ustida to‘хtalib o‘tamiz.