1-mavzu: Funksiya tushunchasi. Ketma-ketlik limiti. Dars rejasi

Teorema. Agar {x_n} ketma-ketlik chegaralangan bo‘lsa, undan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikni ajratib olish mumkin.

Isbot a=inf {x_n} va b=sup {x_n} mavjud bo‘lib, x_n[a;b] bo‘lishi ravshandir. ni nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz. Bu kesmalardan aqalli bittasida ketma-ketlikning cheksiz ko‘p hadlari joylashadi, o‘shanisini [a₁;b₁] deb olamiz va unga tegishli bo‘lgan ketma-ketlikning bitta hadini olamiz, ya’ni ; yuqoridagi jarayonni kesma uchun takrorlash natijasida [a₂;b₂] kesmaga va oldin tanlangan dan farqli hamda bo‘lgan {x_n} ning hadini tanlab, ga ega bo‘lamiz. Va hokazo, bu jarayonni cheksiz takrorlab borish natijasida qismiy ketma-ketlikka (bunda ) va

,

ya’ni bir-birining ichiga joylashgan kesmalar sistemasiga hamda ularning uzunliklari uchun ga ega bo‘lamiz. Bundan bo‘lishi aniqdir. Demak, teoremaga ko‘ra kesmalar uchun umumiy yagona c nuqta mavjud va dir. Undan tashqari, ekanligidan

bo‘lishi avvalgi teoremadan kelib chiqadi, ya’ni yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikdir. Teorema isbotlandi.

Ta’rif (Koshi mezoni). Agar son olinganda shunday mavjud bo‘lsaki, va uchun

tengsizlik bajarilsa, {x_n} fundamental ketma-ketlik deyilib, u Koshi shartini qanoatlantiradi deb ham ataladi.

Agar {x_n} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, bo‘lsa, uning fundamental ekanligi

tengsizlik yordamida osongina isbotlanadi.

Fundamental ketma-ketlik chegaralangan bo‘lishini isbotlash ham qiyinchilik tug‘dirmaydi. Shu bilan birga, quyidagi tasdiq ham o‘rinlidir.