1-Mavzu Haqiqiy sonning moduli va uning xossalar

2-MAvzu . Ketma-ketlik limitini ta`rif bo`yicha hisoblash
Natural sonlar to’plami N va fazoda berilgan bo’lib, F xar bir n (nєN) ga fazoning biror muayyan nuqtasini mos quyuvchi akslantirish bo’lsin:

F:n → yoki

Bu akslantirishni quyidagicha tasvirlash mumkin:

F:n → akslantirishning tasvirlaridan tuzilgan

x(1) x(2)… x(n) … (1) to’plam ketma-ketlik deb ataladi, va u {x(n)} kabi
belgilanadi. Xar bir x(n)ni ketma-ketlik xadi deyiladi. Demak (1) ketma-ketlik xatlari fazo nuqtalaridan iborat ekan. Shuni xam ta’kidlash kerakki {x(n)} ketma-ketlikning mos koordinatalaridan tuzilgan.
{x1(n)}, {x2(n)},… {xm(n)}lar sonli ketma-ketlik bo’ladi {x(n)} ketma-ketlikni shu m ta ketma-ketlikning birgalikda qaralishi deb hisoblash mumkin.
Misol.

2. fazoda ketma-ketlikning limiti tushunchasi (R da) xaqiqiy sonlar ketma-ketligining limiti tushunchasi kabi kiritiladi.
fazoda biror x1(n)x2(n)… xm(n) … (1) ketma-ketlik va biror
a = (a1, a2,… am) є nuqta berilgan bo’lsin.
Ta’rif : Agar ixtiyoriy ε> 0 son olinganda xam , shunday n0 є N,topilsaki barcha
n > n0 uchun ρ (x(n) a)< є (2) bajarilsa a nuqta {x(n)} ketma-ketliking limiti deb ataladi va yoki da kabi belgilanadi
a nuqtaning ε – atrofidan foydalanib ketma-ketlik limitini quyidagicha ta’riflash mumkin.
Ta’rif : a nuqtaning U ε (a) atrofi olinganda ham {x(n)} ketma-ketlikning biror hadidan boshlab, keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo’lsa, a nuqta { x(n)} ketma-ketlikning limiti deb ataladi.
Misol { x(n)} = {(-1)n+1, (-1)n+1} ketma-ketlikning limiti mavjud ekanligi ko’rsatilsin.
Teskarisini faraz qilaylik ketma-ketlik limitga ega va u a=(a1a2) ga teng bo’lsin. U holda ta’rifga ko’ra ε>0 (jumladan ε =1) uchun n0 єN topiladiki n > n0 lar uchun.

Bu ziddiyatlik ketma-ketlikning limitining mavjud ekanligini bildiradi.

fazoda {x(n) }={x1(n)x2(n)… xm(n) } ketma -ketlik berilgan bo’lsin, u limitga ega bo’lsin.u holda limit ta’rifiga ko’ra, ketma ketlikning biror hadidan boshlab barcha hadlari a nuqtaning Uε (a) sferik atrofiga tegishli bo’ladi va shu nuqtaning parallelepipedial atrofining qismi bo’ladi

Demak hadlari { x(n)} ketma-ketlikning o’sha n0 hadidan boshlab barcha hadlari a nuqtaning
atrofida yotadi, ya’ni barcha n>n0 lar uchun xn  ) = {(x1, x2 … xm) є ; a1-ε < x1< a1+a2 a2 – ε 2 2+ ε, … am – ε < xm < am+ ε} bo’ladi.
Bundan esa n > n0 lar uchun

bo’lishi kelib chiqadi.

Demak  ε >0 olinganda ham shunday n0 є N topiladiki, barch n > n0 lar uchun. │x1(n) - a│< ε , │x2(n) - a│< ε …. │xm(n) - a│< ε bo’ladi
bu esa

ekanligini bildiradi.

Shunday qilib {xn} ketma-ketlik limitga ega va uning limiti a bo’lsa uning koordinatlaridan tuzilgan {x1(n)}, {x2(n)}, … {xm(n)} ketma-ketlik ham limitga ega va ular mos ravishda a ning koordinatlariga teng.

Demak

Endi fazoda {x(n)} ketma-ketlikning koordinatlaridan tashkil topgan {x1(n)}, {x2(n)}, … {xm(n)} sonlar ketma-ketligi limitdga ega va u a nuqtaning mos koordinatlariga teng bo’lsin

Yani