1-Mavzu Haqiqiy sonning moduli va uning xossalar

Ketma-ket yaqinlashishlar usuli — matematik masalalarni sonlar orqali yechish usuli; bunda maʼlum yaqinlashishlarga qarab undan keyingi ancha yaqinroq yaqinlashishdagi yechim topiladi. Aytib oʻtilgan yaqinlashishlar ketma-ketligi yaqinlashgan holdagina tatbiq etiladi. Mac, /W=0 (1) koʻrinishidagi tenglamani yechish uchun oʻnga teng kuchli boʻlgan tenglamax=Gʻ(x) (2) tekshiriladi [bu yerda F(x)= f(x)+x\ va bunday ketma-ketlik tuziladi: xy —ixtiyoriy, x=F(xn ), ... . Agar {xj ketma-ketlikning limiti boʻlsa, bu limit (1) tenglamaning yechimi boʻladi. Agar, mas, Gʻ(x) > x va 0 < Gʻ’(x) < 1 boʻlsa, bunday yaqinlashishlar ketmaketligi albatta yaqinlashadi. K-k. ya. u. oʻzgaruvchilari juda koʻp boʻlgan chiziqli tenglamalar sistemasini sonlar orqali yechishda ham qoʻllaniladi. Differensial va integro-differensial tenglamalarning taqribiy yechimlari ham mana shu usul bilan topiladi. K-k. ya. u. nazariy masalalarida ham qoʻllaniladi. y’—f(x,y) differensial tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligy haqida teorema ham shu usul yordamida isbotlanadi. K.-k. ya. u.ning qoʻllanilish imkoniyati siqilgan akslantirishlar orqali belgilanadi.^[1]
Sonli ketma-ketlik va uning limiti.
Agar o‘sish tartibida olingan har bir n natural songa biror qoidaga binoan qandaydir xn ifoda mos qo‘yilgan bo‘lsa, uni ifodalar ketma-ketligi deyiladi va x1, x2, …, xn , … (1)

kabi yoziladi. Bu yerda xn ketma-ketlikning n-hadi deyiladi (n ), ba’zan, uni umumiy had deb ham yuritiladi. Ketma-ketlik uchun {xn} belgilash qo‘llaniladi.

Agar (1) ketma-ketlikning barcha hadlari sonlardan iborat bo‘lsa, uni sonli ketma-ketlik deb ataladi. Masalan, 2; 4;…; 2n;… (1a) – juft sonlar ketma-ketligi, 1; 3; …; 2n–1;… (1b) – toq sonlar

1 ketma-ketligi, 1; ;...; ;... (1c) – natural sonlarga teskari sonlar ketma-ketligi va hokazo.

n

Ketma-ketlikni umumiy hadi ma’lum bo’lsa u berilgan hisoblanadi.
Agar istalgan nN uchun xntengsizlik bajarilsa, {xn} ketma-ketlik monoton o’suvchi deyiladi.

Agar istalgan nN uchun xn>xn+1 tengsizlik bajarilsa, {xn} ketma-ketlik monoton kamayuvchi deyiladi.

Agar istalgan nN uchun xn xn+1 tengsizlik bajarilsa, {xn} ketma-ketlik kamaymaydigan ketmaketlik deyiladi.

Agar istalgan nN uchun xn xn+1 tengsizlik bajarilsa, {xn} ketma-ketlik o’smaydigan ketma-ketlik deyiladi.

Agar ketma-ketlikning barcha hadlari chekli (–M; M) oraliqda (M > 0) joylashgan bo’lsa, ya’ni barcha n lar uchun |xn|

Agar istalgan ε>0 son uchun shunday N=N(ε)>0 son mavjud bo’lsaki, barcha n≥N lar uchun |xn–a|<ε tengsizlik bajarilsa, a o’zgarmas son {xn} ketma-ketlikning limiti deyiladi:

Agar {xn} ketma-ketlik chekli limitga ega bo’lsa, u yaqinlashuvchi, aks holda uzoqlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.

|xn|<ε tengsizlik a–εntengsizlikka teng kuchlidir. Bu esa istalgan ε>0 uchun shunday N=N(ε)>0 son topilsaki, {xn} ketma-ketlikning n≥N dan boshlab barcha hadlari nuqtaning atrofiga tushsa, a son {xn} ketma-ketlikning limiti deyiladi.