1-mavzu. Parametr qatnashgan ifodalar. Parametrli tenglama haqida tushuncha. Reja

(2a — 2b = 0 (a — b = 0 „ _i —1
t a + b = 1 , ta + b = 1, ^a , ^a 2'
Buni sistemaning birinchi tenglamasiga qo’yib, b = 1 ni topamiz.
Javob: a = -, b = -. 2’ 2
9. 9%² + kx + kx² — 9x = x² — 17x ayniyat bo’lsa, k ning qiymati nechaga teng? Yechish: Berilgan tenglik ayniyat bo’lganligi uchun uni
9%² + kx + kx² — 9x — x² + 17% = (8 + k)x² + (k + 8)% = 0 ko’rinishida yozamiz. Bundan 8 + k = 0 bo’lishi kelib chiqadi. Bu shartdan esa k = —8 ni topamiz.
Javob: -8.
10. k ning qanday qiymatida x² + 2(k — 9)x + k² + 3k + 4 ifodani to’la kvadrat shaklida tasvirlab bo’ladi?
Yechish: x² + 2(k — 9)x + k² + 3k + 4 = [x — (k — 9)]² deylik. U holda k² — 18k + 81 = k² + 3k + 4 tenglik o’rinli bo’lishi kerak. Undan k ni topamiz: —21k = —77, k = 77 _ 11 ■
21 3
Javob: —■
3
§ 3. Tenglama haqida tushuncha
Tenglama tushunchasi matematikaning muxim tushunchalaridan biridir. Ko’pgina amaliy va ilmiy masalalarda biror kattalikni bevosita o’lchash yoki tayyor formula bo’yicha hisoblash mumkin bo’lmasa, bu miqdor qanoatlantiradigan munosabat yoki bir nechta munosabat tuzishga erishiladi. Ya’ni noma’lum kattalikni aniqlash uchun tenglama yoki tenglamalar sistemasi hosil qilinadi.
Matematikani fan sifatida vujudga kelganidan boshlab uzoq vaqtgacha tenglamalarni yechish usullarini rivojlantirish algebraning asosiy tadqiqot predmeti bo’lgan.
Tenglamalarni harfiy yozilishi asosan XVI asrda shakllandi; tenglamadagi noma’lumlarni lotin alifbosining oxirgi x, y, z, ... harflari bilan, ma’lum miqdorlar (parametrlar)ni esa lotin alifbosining dastlabki a, b, c, ... harflari orqali belgilash qabul qilingan. Tenglamalarni algebraik (analitik) yechishning odatdagi yo’li shundan iboratki, uni mumkin bo’lgan almashtirishlar yordamida soddaroq tenglamalarga keltiriladi.
Tenglama uchun ham bir necha xil ta’riflar mavjud.
Ta’rif. Ikkita o’zgaruvchili ifodani tenglik belgisi bilan birlashtirilishiga tenglama deyiladi.
Ba’zi adabiyotlarda dastlab aynan teng ifodalar va ayniyat tushunchalari kiritilib so’ngra tenglamaga ta’rif beriladi.
A va B to’plamlarda aniqlangan f(%) va (p(x) o’zgaruvchili ifodalarni qaraymiz.
Agar A va B to’plamlarning umumiy to’plam ostisi bo’lgan 5 to’plamdaf(x) = (p (x) bo’lsa, u holda unga 5 to’plamda ayniyat deyiladi.
Masalan, y = (x - 2)² vay=x-2 ifodalar [2;+w) da aynan tengdir.
y=(x-3)² va y=x²-6x+9 ifodalar esa x ning har qanday haqiqiy qiymatlarida aynan tengdir.
Shunday qilib, j(x - 2)² = x - 2 tenglik x ning [2;+w) dan olingan barcha qiymatlarida va (x-3)²=x²-6x+9 tenglik esa x ning (-^;+^)dagi har qanday qiymatlarida ayniyat bo’lishi kelib chiqadi.
Ta’rif. f(x) = p(x) tenglik x o’zgaruvchining qanday qiymatlar to’plamida o’rinli bo’lishini aniqlash talab qilingan bo’lsa, u holda bu tenglikka tenglama deyiladi.
7.,
Masalan, 6x -19 = 3x — —; 3x = 2x + 9 va hokazolar tenglamalarga misol bo’la oladi.
Tenglamaga kirgan o’zgaruvchilarni noma’lumlar deyiladi.
Tenglamani yechish - noma’lumning berilgan tenglamani to’g’ri tenglikka aylantiradigan barcha qiymatlarini topish yoki bunday qiymatlar yo’qligini ko’rsatish demakdir.
Umumiy o’rta ta’lim maktablari, kasb-hunar kollejlari va akademik litseylar matematika kursida, asosan noma’lumlari son qiymatlar qabul qiladigan tenglamalar qaraladi.
Noma’lumning tenglamani to’g’ri tenglikka aylantiradigan qiymatlariga tenglamaning ildizlari yoki yechimlari deyiladi.
Tenglamalarni yechishda u bilan birga tenglamani aniqlanish sohasi tushunchasi ham qaraladi.
f(x) = (p(x) tenglamani aniqlanish sohasi deb f(x) va (p(x) ifodalarning




umumiy aniqlanish sohasiga aytiladi.

Masalan, Vx — 3 + y/10 — x = 5 tenglamani aniqlanish sohasi

' x - 3 > 0
v
10 - x > 0

3x - 5
x - 2
tengsizliklar sistemasini yechimidan, ya’ni 3 < x < 10 yoki x e [3; 10] dan iborat.
= 2 tenglamani aniqlanish sohasi esa x + 2 sonlardan, ya’ni
(-w;2) ^ (2;+w) dan iborat bo’ladi.
Ko’p adabiyotlarda tenglamani aniqlanish sohasi tushunchasini noma’lumning qabul qiladigan qiymatlari sohasi deb ham yuritiladi.
Tenglamalarni yechishda uning aniqlanish sohasini topish har doim ham muxim tadbir bo’lmasligi mumkin. Shunday tenglamalar uchraydiki, ularni aniqlanish sohasini topish tenglamani yechishdan ham murakkabroq bo’lishi mumkin. Bunday hollarda dastlab tenglamani yechish, so’ngra topilgan yechimlarni tekshirib ko’rish maqsadga muvofiqdir. Tenglamalarni yechishda turli almashtirishlar qilishga to’g’ri keladi. Buning natijasida tenglamalarni aniqlanish sohasi torayishi yoki kengayishi mumkin. Shuning uchun ham topilgan yechimlarni alohida shartlar bilan olish maqsadga muvofiqdir.