1-mavzu sirt integrallari

2.3.4. IKKINchi tur sirt integralini hisoblash

Ikkinchi tur sirt integrali ikki karrali integrallarga keltirib hisoblanadi. Oriyentirlangan sirt tenglama bilan berilgan, ya’ni

bo’lsin, bu yerda sirtning tekislikdagi proyeksiyasi.
Agar funksiyalar sohada uzluksiz va funksiya sirtda uzluksiz bo’lsa, u holda
(2.60)
bo’ladi.
(2.60) tenglikning o’ng tomonida sohada uzluksiz bo’lgan
funksiya karrali integralining integral yig’indisi joylashgan. Bu tenglikning har ikkala
tomonida da limitga o’tilsa, ushbu
(2.61)
ikkinchi tur sirt integralini hisoblash formulasi kelib chiqadi.
Agar sirtning oriyentatsiyasi o’zgartirilsa, u holda (2.61) tenglikning o’ng tomonidagi integral oldiga manfiy ishora qo’yiladi. Bunda sirt normalining
, ,
yo’naltiruvchi kosinuslarida ildiz oldida ma’lum bir ishorani tanlash orqali sirt
oriyentatsiyalanadi. Masalan, ildiz oldida musbat ishora olinsa, u holda ya’ni sirt normali o’qi bilan o’tkir burchak tashkil qiladi. Bu holda sirtning yuqori tomoni tanlanadi.
Quyidagi integrallash formulalari shu kabi hosil qilinadi:
(2.62)
(2.63)
bu yerda sirt mos ravishda va tenglama bilan berilgan,
, sirtning va tekisliklardagi proyeksiyalari.
Agar sirt uchala koordinatalar tekisligida proeksiyalanuvchi bo’lsa, u holda sirt bo’yicha umumiy ikkinchi tur sirt integral (2.61) - (2.63) formulalar yig’indisi bilan hisoblanadi. Murakkabroq hollarda sirt bir nechta tayin xossalarga ega bo’lgan bo’laklarga bo’linadi va sirt bo’yicha umumiy ikkinchi tur sirt integrali bo’laklar bo’yicha integrallar yig’indisiga teng bo’ladi.
3-misol. integralni hisoblang, bu yerda sferaning
yuqori tomoni.
Y e c h i s h. Sferaning tekislikdagi proyeksiyasi doiradan
iborat bo’ladi. Sfera yuqori tomoni tenglama bilan aniqlanadi.
U holda

belgilash kiritamiz)=


Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog’lanishni topamiz.
25-shakldan kelib chiqadi. Shu kabi , bu yerda sirt normal vektorining yo’naltiruvchi kosinuslari.
Bundan birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi ushbu

(2.64)
bog’lanish formulasi kelib chiqadi.
4-misol. integralni hisoblang, bu yerda sferaning yuqori qismi.
Y e c h i s h. Integralni (2.64) formula bilan hisoblaymiz:

.