1-Mavzu: Yig’indi va keltirish formulalari. Ikkilangan va yarim burchakning trigonometrik funksiyalari

1-Mavzu:

 

Yig’indi va keltirish formulalari. Ikkilangan va yarim 

burchakning trigonometrik funksiyalari. 

 

Reja:         1. Bir argumentning trigonometrik funktsiyalari orasidagi           

munosabatlar. 

                         2. Trigonometrik funktsiyalarning qo‘shish teoremalari. 

                    3. Keltirish formulalari. 

4. Ikkilangan argumentlarning trigonometrik funktsiyalari. 

 

Bir argumentning trigonometrik funktsiyalari orasidagi munosabatlar. 

 

1. Bir xil argumentning sinus va kosinuslari kvadratlarining yig‘indisi 1 ga 

teng:   

1

sin

cos

2

2









 

2.  Tangens  va  kotangenslarni  sin



  va  cos



  lar  orqali  quyidagicha  yozish 

mumkin: 

,

sin

cos

,

cos

sin

















ctg

tg

u holda  

1







ctg

tg

. 

1

sin

cos

2

2









 tenglikni galma-galdan 



2

cos

 va 



2

sin

 ga bo‘lsak, 





















2

2

2

2

2

2

sin

1

1

sin

cos

,

cos

1

cos

sin

1

 

tengliklarga ega bo‘lamiz, demak, 

















2

2

2

2

sin

1

1

,

cos

1

1

ctg

tg

. 

Trigonometrik funktsiyalarning ba’zi burchaklardagi son qiymatlari: 

 

 

0

0

 

30

0

 

45

0

 

60

0

 

90

0

 

sinx 

0 

2

1

 

2

2

 

2

3

 

1 

cosx 

1 

2

3

 

2

2

 

2

1

 

0 

tgx 

0 

3

1

 

1 

3

 

- 

ctgx 

- 

3

 

1 

3

1

 

0 

 

 

1-misol: 

2

0

;

5

4

sin













 bo‘lsa, cos



, tg



, ctg



 ni toping. 

Yechish: 



 burchak birinchi chorakka tegishli bo‘lganligi uchun bu chorakda cos



 

funktsiya musbat. Shuning uchun 











2

sin

1

cos

 formuladan:  

  

;

5

3

25

9

25

16

1

5

4

1

sin

1

cos

2

2

































 

;

3

4

5

3

5

4

cos

sin













tg

   

;

4

3

3

4

1

1











tg

ctg

 

2-misol: 















2

2

3

;

6

,

0

cos

 bo‘lsa,   







ctg

tg ,

,

sin

 ni toping. 

Yechish: 



 burchak to‘rtinchi chorakka tegishli, unda sin



 funktsiya manfiy  

  

;

8

,

0

64

,

0

36

,

0

1

)

6

,

0

(

1

cos

1

sin

2

2































 

  

;

4

3

8

6

8

,

0

6

,

0

sin

cos

;

3

4

6

8

6

,

0

8

,

0

cos

sin









































ctg

tg

 

3-misol:  

2

3

;

2















tg

 bo‘lsa, 







ctg

,

cos

,

sin

 ni toping. 

Yechish: 



 burchak uchinchi chorakka tegishli: 

;

2

1

1









tg

ctg

 

.

5

1

5

1

5

4

1

sin

1

cos

;

5

2

5

4

4

1

1

1

1

1

sin

2

2

















































ctg

 

 

Trigonometrik funktsiyalarning qo‘shish teoremalari. 

 

Teorema.  Ikki  argument  yig‘indisi  (ayirmasi)  ning  kosinusi  argumentlar 

kosinuslarini ko‘paytmasidan shu argumentlar sinuslari ko‘paytmasini ayirilganiga 

(qo‘shilganiga) teng bo‘ladi: 





















sin

sin

cos

cos

cos



 

Teorema.  Ikki  argument  yig‘indisi  (ayirmasi)  ning  sinusi  birinchi  argument 

sinusini ikkinchi argument kosinusiga  ko‘paytmasiga birinchi argument kosinusini 

ikkinchi  argument  sinusiga    ko‘paytmasini  qo‘shilganiga  (ayrilganiga)  teng 

bo‘ladi:  























sin

cos

cos

sin

sin

 

Teorema. 



 va 



 argumentlarning har qanday qiymatida: 























tg

tg

tg

tg

tg



1

 

 

1-misol:  



75

sin

 ni hisoblang. 

Yechish:  





;

1

3

4

2

2

1

2

2

2

3

2

2

30

sin

45

cos

30

cos

45

sin

)

30

45

sin(

75

sin







































 

2-misol:   



105

sin

 ni hisoblang. 

Yechish: 





;

1

3

4

2

2

2

2

1

2

2

2

3

45

sin

60

cos

45

cos

60

sin

)

45

60

sin(

105

sin











































 

3-misol: 

;

2

1

2

1

1

2

3

0

30

sin

90

sin

30

cos

90

cos

)

30

90

cos(

120

cos







































 

4-misol:  





;

1

3

4

2

2

1

2

2

2

3

2

2

30

sin

45

sin

30

cos

45

cos

)

30

45

cos(

15

cos







































 

5-misol:  





;

3

2

2

1

3

2

3

2

1

3

1

3

1

3

3

1

1

1

3

1

1

30

45

1

30

45

)

30

45

(

75

2

























































tg

tg

tg

tg

tg

tg

 

6-misol: 





;

3

2

2

1

3

2

3

2

1

3

1

3

1

3

3

1

1

1

3

1

1

30

45

1

30

45

)

30

45

(

15

2

























































tg

tg

tg

tg

tg

tg

 

 

 

Keltirish formulalari. 

 

Keltirish  formulalarining  ko‘pligi  ularni  yodlashni  qiyinlashtiradi.  Shuning 

uchun quyidagi qonundan foydalaniladi:  

a)  agar 



  argument 



  yoki  2



  ga  qo‘shilayotgan  yoki  bu  sonlardan  ayrilayotgan 

bo‘lsa, u holda trigonometrik funktsiyaning nomi o‘zgarmaydi; 

b)  agar 



  argument 

2



  yoki 

2

3



  ga  qo‘shilayotgan  yoki bu sonlardan  ayrilayotgan 

bo‘lsa,  u  holda  funktsiyaning  nomi  (sinus  kosinusga  va  teskari,  tangens 

kotangensga va teskari) almashadi; 

v) 0<



<

2



 deb hisoblab, argument qaysi chorakda joylashganini aniqlaymiz va mos 

ravishda 



 ning trigonometrik funktsiyasi oldidagi ishorasini aniqlaymiz. 

 

 

Funktsiya 

 

argumentlar 

radianlar 

(graduslar) 

cos 

sin 

tg  

ctg 

1. –



 

cos



 

-sin



 

-tg



 

-ctg



 

2. 















0

90

2

  

-sin



 

cos



 

-ctg



 

-tg



 

3. 















0

90

2

 

sin



 

cos



 

ctg



 

tg



 

4. 















0

180

 

-cos



 

-sin



 

tg



 

ctg



 

5. 















0

180

 

-cos



 

sin



 

-tg



 

-ctg



 

6. 















0

270

2

3

 

sin



 

-sos



 

-ctg



 

-tg



 

7. 















0

270

2

3

 

-sin



 

-sos



 

ctg



 

tg



 

8. 















0

360

2

 

cos



 

sin



 

tg



 

ctg



 

9. 















0

360

2

 

cos



 

-sin



 

-tg



 

-ctg



 

 

1-misol:  















;

cos

sin

1

cos

sin

cos

sin

sin

cos

cos

sin

cos

sin

cos

2

3

cos

2

sin

sin

2

2

2

2





































































































 

2-misol:   

 





 







































cos

2

cos

2

1

cos

sin

 ifodani soddalashtiring. 

 





 













;

cos

sin

1

sin

cos

cos

sin

sin

cos

sin

2

cos

cos

sin

cos

sin

2

1

cos

sin

cos

2

cos

2

1

cos

sin

2

2

2













































































































 

3-misol:   

 





.

1

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

2























































































tg

ctg

ctg

tg

ctg

ctg

tg

tg

ctg

tg

ctg

tg

 

 

 

Ikkilangan argumentlarning trigonometrik funktsiyalari. 

 

Qo‘shish formulalarida 



=



 bo‘lsa, u holda  2



  argumentning  trigonometrik 

funktsiyalarini 



  argumentning  trigonometrik  funktsiyalari  orqali  ifodalovchi 

formulalarni hosil qilamiz: 





































ctg

ctg

ctg

tg

tg

tg

a

2

1

2

,

1

2

2

,

sin

cos

2

cos

,

cos

sin

2

2

sin

2

2

2

2

 

Ayrim hollarda ushbu:  

sin3



=3sin



-4sin

3



;    cos3



=4cos

3



-3cos



;   















2

3

3

1

3

3

tg

tg

tg

tg

  formulalardan 

foydalanish masalalarni yechishni osonlashtiradi. 

1-misol: sin75

0



sin15

0

 ni jadval yordamisiz hisoblang. 

Yechish: 





4

1

2

30

sin

2

15

cos

15

sin

2

15

sin

15

cos

15

sin

15

90

sin

15

sin

75

sin

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0





















 

2-misol: 















3

sin

cos

4

3

cos

sin

4

3

3

 ifodani soddalashtiring. 

Yechish: 













;

4

sin

3

2

cos

2

sin

6

sin

cos

cos

sin

12

cos

sin

16

sin

cos

12

cos

sin

12

cos

sin

16

sin

4

sin

3

cos

4

cos

3

cos

4

sin

4

3

sin

cos

4

3

cos

sin

4

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3



































































































 

3-misol:  











ctg

2

sin

2

cos

1

 ni soddalashtiring. 

Yechish: 





;

1

sin

cos

cos

sin

2

sin

2

sin

cos

cos

sin

2

sin

cos

cos

sin

2

sin

2

cos

1

2

2

2

2

2























































ctg

 

4-misol: 











2

4

cos

1

4

sin

ctg

 ni soddalashtiring. 

Yechish: 

.

1

2

sin

2

cos

2

cos

2

2

cos

2

sin

2

2

sin

2

cos

2

sin

2

cos

2

sin

2

cos

2

cos

2

sin

2

2

4

cos

1

4

sin

2

2

2

2

2

























































ctg