1 Неравенство Чебышева и её Точность

1•1.Неравенство Чебышева и её Точность

Неравенство Чебышева – возможно, самый знаменитый результат из всей теории вероятностей и назван в честь великого русского математика П.Л.Чебышева (1821-1894). Согласно этому неравенству для любой случайной величина (с.в) Х с конечными математическим ожиданием МХ и дисперсей DХ и для любого Е>0 мы имеем

Р(|Х-МХ|>Ɛ)≤ (1)

Неравенство Чебышева допускает ряд обобщений. Одно из них – неравенство Маркова, названное по имени автора – ученика Чебышева А.А.Маркова (1856 – 1922), другого выдающегося

русского математика начала ХХ столетия. Неравенство Маркова утверждает, что для любой неотрицательной с.в. У с конечным математическим ожиданием и любого Ɛ>0 мы имеем

P(Y≥Ɛ)≤MX (2)

Неравенство Чебышева можно получить из неравенства Маркова, пологая У=. и учитывая, что события {≥ Ɛ} и {≥Ɛ²} тождественные. Здесь следует отметить, что имена Чебышева и Маркова ассоциируются с подъемом русской школы теории вероятностей. Они оба быме неординарными х юдьми.

Чебышев интересовался широким кругом проблем современной ему науки, а также политикой, экономикой и социальными вопросами. Кроме того он изучал баллистику, помогая своему брату, а также незаурядными человеку, генералу отартиллерии, служлевщему в русской царской армии. Марков был известным либералом, оппозиционером к царскоми режиму:

в 1913 г., когда Россия праздновала 300- юг…?.одовишну царствования семьи Романовых, он совместно со своими коллегами организовал 200-й годовишны закона больших чисел, а это было весьма вызывающе.

Докажем теперь неравенство Маркова. Это несложно:

Если значениям x₁,x_2,…x_n,.. соответствуют вероятности p₁,p_2,…p_n,.. то

MX=x_jp_j≥x_jp_j ≥ Ɛp_j=Ɛ P(x≥Ɛ)

Зто можно записать короче, используя индикаторы:

MX≥M(XI_x≥Ɛ )≥ƐMI_x≥Ɛ=ƐP(x≥Ɛ)

Заметим, что число Ɛ>0 в неравенствах (1), (2) Чебышева и Маркова необъяцательно должен быть большим или малым, неравенство верно для любого положительного числа.

Полезность (1) определиться не его точностью а простотой и коммуникабельностью в примененим к суммам с.в. Имеются многочисленных обобщения (1), однако ни одно не обладает этим его качествами (§1)

Достаточно вспомнить доказательство теоремы Хинчина о законе больших чисел, которую приведем в §2.1

Приведем несколько примеров о точности (1).

а) Предположим Х={ . Отсюда МХ=0, DХ=1

Применяя неравенство Чебышева помним, что

P₁==i)≥1

С другой стороны, обе возможные значения Х равны по модулю единице, то P₁=1. Этот пример показывает что если не делать никаких дополнительных предположений относительно Х, то неравенство Чебышева даетне улучшаемую оценку Р₁ .

Пусть плотность распределения Х P_x(x)=.

Тогда МХ=0, DХ=2. Воспользовавшись неравенством Чебышева оценим P_Ɛ =P(|§|>Ɛ) для Ɛ=2;5;10. В результате получим

P₂ ≤0,5 , P₅ ≤0,08 , P₁₀ ≤0,02

С другой стороны, P_Ɛ =1-F(Ɛ)+ F(-Ɛ)=e^-Ɛ имеем

P₂ = 0,01353 , P₅ 0,0067 , P₁₀ 0,000045

Таким образом, в этом примере неравенство Чебышева дает очень грубую оценку P_Ɛ .

Пользуясь (1) оценим вероятность того, что с.в. Х с любым Законом распределения отклонится от своего математического ожидания не меньше 3 . Пологая в (1) Ɛ=3 получим

P(|X-MX|>3) ≤=

То есть для любой с.в. Х вероятность невыполнения правило трёх сигм не превышает 1/9.

Рассмотрим далее несколько примеров на применение (1) при Ɛ=3, в каждом из которых сравнить точное значение P(|X-MX|>3) с его верхней оценкой 1/9.

В) С.в. Х – индикатор события А, задана с таблицей распределения:

X:

Оневидно, МХ=р, DХ=рq. Пользуясь распределением Х вычислим точные значения вероятности

P(|X-p|≥3)={ (3)

Действительно, при р=0,1 3=0,3 единственное значение Х, отклоняющиеся от р=0,1 больше чем 0,3 есть 1; а вероятность равно р, тоже будет и при р<0,1; для больших вероятность р≥0,9 единственным значением c.в. § отклоняющися от р больше чем 3 будет 0, а его вероятность q. Из (3) видно, что вероятность события |X-p|≥3не больше р при малых р и не при каких условиях на превосходито, 1, что менышее 1/9 , даваемое неравенством Чебышева. При значениях 0,1<р<0,9 ошибка „правило 3 “ вообще равно нулю!