1. несобственные интегралы

1.4. Главное значение несобственных интегралов

1.4.1. Главное значение НИ–1

Предел lim

A→+∞

A

Z

−A

f (x)dx называют главным значением НИ-1

+∞

Z

−∞

f (x)dx и обо-

значают

v.p.

+∞

Z

−∞

f (x)dx.

Если

+∞

Z

−∞

f (x)dx сходится, то он сходится и в смысле главного значения и

+∞

Z

−∞

f (x)dx = v.p.

+∞

Z

−∞

f (x)dx.

Пример 1.76. Вычислить v.p.

+∞

Z

−∞

x

2

arctgx

x

2

+ 4

dx.

Решение. Имеем v.p.

+∞

Z

−∞

x

2

arctgx

x

2

+ 4

dx = lim

A→+∞

A

Z

−A

x

2

arctgx

x

2

+ 4

dx = 0, так как подын-

тегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны относительно

точки x = 0.

Замечание 1.15. Если подынтегральная функция f в НИ–1

+∞

Z

−∞

f (x)dx является

нечетной, то v.p.

+∞

Z

−∞

f (x)dx = 0.

Пример 1.77. Вычислить v.p.

+∞

Z

−∞

xdx

(x − α)

2

+ β

2

, β 6= 0.

Решение.

v.p.

+∞

Z

−∞

xdx

(x − α)

2

+ β

2

= [x − α = t] = v.p.

+∞

Z

−∞

t + α

t

2

+ β

2

dt = v.p.

+∞

Z

−∞

t

t

2

+ β

2

dt+

+α lim

A→+∞

+∞

Z

−∞

dt

t

2

+ β

2

= 0 + α lim

A→+∞

2

A

Z

0

dt

t

2

+ β

2

=

2

β

α lim

A→+∞

arctg

t

β

¯

¯

¯

¯

A

0

=

=

2α

β

lim

A→+∞

arctg

A

β

=

2α

β

·

π

2

· sgnβ =

πα

|β|

.

Отметим, что

+∞

Z

−∞

xdx

(x − α)

2

+ β

2

расходится, так как

x

(x − α)

2

+ β

2

∼

1

x

при x → +∞.

1.4.2. Главное значение НИ–2

Для несобственного интеграла второго рода

b

Z

a

f (x)dx с единственной особой точ-

кой c ∈ (a; b) определяют главное значение как предел lim

η→+0

µ

c−η

Z

a

f (x)dx +

b

Z

c+η

f (x)dx

¶

.

Главное значение такого интеграла обозначают v.p.

b

Z

a

f (x)dx.

Если

b

Z

a

f (x)dx сходится, то его значение совпадает с его главным значением.

Пример 1.78. Вычислить v.p.

4

Z

1

dx

x − 3

.

Решение. Имеем

v.p.

4

Z

1

dx

x − 3

= lim

η→+0

µ

3−η

Z

1

dx

x − 3

+

4

Z

3+η

dx

x − 3

¶

=

= lim

η→+0

µ

ln |x − 3|

¯

¯

¯

¯

3−η

1

+ ln |x − 3|

¯

¯

¯

¯

4

3+η

¶

= lim

η→+0

(ln η − ln 2 + ln 1 − ln η) = − ln 2.

Отметим, что

4

Z

1

dx

x − 3

расходится.

2. УПРАЖНЕНИЯ

I. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

1.

1

Z

0

x

α

ln xdx. 2.

+∞

Z

0

e

−2x

sin 2xdx. 3.

+∞

Z

2/π

1

x

2

sin

1

x

dx. 4.

+∞

Z

0

x

2

e

−x

dx.

5.

2

Z

1

1

x

√

3x

2

− 2x − 1

dx. 6.

+∞

Z

1

1

(1 + x)

√

x

dx. 7.

2

Z

0

x

5

√

4 − x

2

dx. 8.

+∞

Z

1

ln x

x

2

dx.

9.

+∞

Z

0

e

−ax

cos bxdx, a > 0. 10.

2

Z

0

1

x

2

− 4x + 3

dx. 11.

+∞

Z

0

x

(1 + x)

3

dx.

12.

+∞

Z

0

x

−3/2

(1 + x)dx. 13.

1

Z

0

x + 1

3

p

(x − 1)

2

dx. 14.

e

2

Z

1

1

x

√

ln x

dx. 15.

2

Z

1

x

√

x − 1

dx.

16.

+∞

Z

1

1

x

2

(1 + x)

dx. 17.

1

Z

0

x ln xdx. 18.

+∞

Z

2

x

p

(x

2

+ 5)

3

dx. 19.

e

Z

1

1

x ln

3/4

x

dx.

20.

1

Z

0

1

p

x(1 − x)

dx. 21.

4

Z

2

1

√

6x − x

2

− 8

dx. 22.

1

Z

0

x

√

1 − x

2

dx. 23.

+∞

Z

0

x

x

4

+ 4

dx.

24.

1

Z

0

1

x

2

+ x

4

dx. 25.

+∞

Z

−∞

1

x

2

+ 6x + 11

dx. 26.

2/3

Z

1/3

1

x

√

9x

2

− 1

dx. 27.

−2

Z

−∞

1

x

√

x

2

− 1

dx.

28.

+∞

Z

0

(3x + 2)e

−2x

dx. 29.

2

Z

0

1

x

√

x − 2x +

√

x

dx. 30.

0

Z

−∞

2x + 3

x

2

+ 1

dx. 31.

+∞

Z

1

arctgx

x

2

dx.

32.

1

Z

0

1

(2 − x)

√

1 − x

dx. 33.

−0,25

Z

−0,5

1

x

√

2x + 1

dx. 34.

+∞

Z

0

x2

−x

dx. 35.

0

Z

−1

e

1

x

1

x

3

dx.

36.

5

Z

1

2x + 3

√

x − 1

dx. 37.

4

Z

0

1

√

x + x

dx. 38.

+∞

Z

0

x

3

e

−2x

2

dx. 39.

2

Z

√

2

1

(x − 1)

√

x

2

− 2

dx.

40.

0

Z

−4

e

2

x

1

x

3

dx. 41.

+∞

Z

1

arctg(1 − x)

x

2

− 2x + 2

dx. 42.

+∞

Z

3

1

x

2

− x − 2

dx. 43.

1

Z

0

ln

2

x

√

x

dx.

44.

+∞

Z

−1

ln(2x + 3)

(2x + 3)

2

dx. 45.

5

Z

3

3x + 4

√

x

2

− 9

dx. 46.

1

Z

0

(3x

2

+ 8x − 3) ln xdx.

47.

5/2

Z

3/2

1

x

√

25 − 4x

2

dx. 48.

+∞

Z

0

(2x

2

− 3)e

−2x+3

dx. 49.

e

3/2

Z

e

−1/2

1

x

√

2 ln x + 1

dx.

50.

5

Z

1

1

2x +

√

x − 1 − 2

dx. 51.

0

Z

1

2

ln 3−ln 2

e

x

√

1 − e

2x

dx. 52.

3

Z

0

1

(1 + x)

√

3 − x

dx.

53.

+∞

Z

√

e

arctg(2 ln x)

x(1 + 4 ln

2

x)

dx. 54.

+∞

Z

0

(2x + x

3

)e

−4x

2

dx. 55.

+∞

Z

1

1

x

√

1 + x

dx.

56.

2

Z

1/2

1

x

5

√

ln 2x

dx. 57.

+∞

Z

−∞

1

2x

2

− 4x + 3

dx. 58.

2

Z

1

ln(x − 1)

√

x − 1

dx. 59.

3

Z

2

2x + 1

3

p

(x − 3)

2

dx.

II. Решить задачи.

1. Вычислить площадь, заключенную между кривой y = e

−2x

и осями координат

(для x ≥ 0).

2. Вычислить площадь, заключенную между кривой y = xe

−

x2

2

и ее асимптотой.

3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограничен-

ной линиями x

3

y = 4, y = 0, x = 4 (x ≥ 4).

4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox неограниченной

криволинейной трапеции, заключенной между кривой y = xe

−x/2

и ее асимптотой.

5. Найти площадь фигуры, образованной линиями y = xe

−x

2

, y = 0, (x ≥ 0).

6. Найти объем тела, полученного при вращении кривой y =

|x|

1 + x

2

вокруг ее

асимптоты.

7. Линия y

2

= 2exe

−2x

вращается вокруг своей асимптоты. Найти объем получен-

ного тела.

8. Найти объем тела, которое получается при вращении вокруг оси Oy фигуры,

ограниченной линиями y = x

2

e

−x

2

, y = 0.

9. Фигура, ограниченная линией y = e

−x

2

и ее асимптотой, вращается вокруг оси

ординат. Найти объем получающегося тела.

10. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox беско-

нечной дуги кривой y = e

−x

для x ≥ 0.

11. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой xy

2

= 8 − 4x и ее асимп-

тотой.

12. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении

кривой y =

1

1 + x

2

вокруг ее асимптоты.

13. Найти площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции

y =

√

x

(1 + x)

2

, x ∈ [1; +∞) и прямыми x = 1, y = 0.

14. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой (4 − x)y

2

= x

3

и ее асимптотой.

15. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y =

xe

−3x

2

, x ≥ 0, и осью Ox.

16. Найти площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции

y = x ln

1 + x

1 − x

и прямыми y = 0, x = −1, x = 1.

17. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой (x + 1)y

2

= x

2

и ее асимптотой.

18. Найти площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции

y =

x

√

x

x

5

+ 1

, x ∈ [0; +∞), и осью Ox.

19. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении

кривой y =

4

4 + x

2

вокруг ее асимптоты.

III. Исследовать сходимость интегралов.

1.

1

Z

0

ln(1 +

3

√

x)

e

sin x

− 1

dx. 2.

π/4

Z

0

ln(1 + x)

3

√

π

2

− 16x

2

·

√

sin x

dx. 3.

1

Z

0

√

x

√

1 − x

4

dx. 4.

1

Z

0

cos

2

x

3

√

1 − x

2

dx.

5.

2

Z

0

sin x

1 − x

2

dx. 6.

1

Z

0

ln x

1 − x

2

dx. 7.

1

Z

0

ln(1 + 2

5

√

x

4

)

e

x

− 1

dx. 8.

√

2/π

Z

0

cos

1

x

2

·

1

x

3

dx.

9.

1

Z

0

x

2

3

√

1 − x

2

dx. 10.

1

Z

0

ln(1 − x)dx. 11.

1

Z

0

1

5

√

xsh2x

dx. 12.

+∞

Z

1

1

e

3

√

x

− 1

dx.

13.

1

Z

0

cos x

4

√

x − sin x

dx. 14.

1

Z

0

ln x

p

(1 − x

2

)

3

dx. 15.

5

Z

0

sin

2

x

3

√

x

dx. 16.

1

Z

0

√

x

e

sin x

2

− 1

dx.

17.

π/2

Z

0

(tgx)

2

dx. 18.

1

Z

0

e

1

x

x

3

dx. 19.

1

Z

0

1

3

p

x(e

x

− e

−x

)

dx. 20.

3

Z

0

ln(1 +

5

√

x

2

)

e

tgx

− 1

dx.

21.

1/2

Z

0

arcsin(x

2

+ x

3

)

x ln

2

(1 + x)

dx. 22.

π

Z

0

shx

e

x

2

− cos x

dx. 23.

1

Z

0

1

5

√

1 − x

10

dx. 24.

2

Z

0

s

16 + x

4

16 − x

4

dx.

25.

1

Z

0

cos 2x

6

√

x − sin

√

2x

dx. 26.

1

Z

0

arcsin

x + x

3

2

x ln

2

(1 +

3

√

x)

dx. 27.

1

Z

0

e

2x

− cos x

sin x − x

dx.

28.

1/3

Z

0

arcsin(2x + x

2

)

x

2

ln

2

(1 + x

2

)

dx. 29.

1

Z

0

x + shx

e

x

2

− cos x

dx. 30.

2

Z

0

sin(1 − x

2

)

(1 − x

2

)

2

+

3

√

1 − x

2

dx.

31.

1

Z

−1

|x|

3/2

xe

x

− sin x

dx. 32.

1/2

Z

0

sin

3/2

2x

√

x

4

+ x

2

sh

3

4x

dx. 33.

0,25

Z

0

arcsin(x

2

+

√

x)

p

x ln(1 + x)

dx.

34.

π/4

Z

0

e

−2x

− cos 2x

x

3/2

sin 2x

dx.