1. несобственные интегралы

1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Построение интеграла Римана

b

R

a

f (x)dx как предела интегральных сумм возмож-

но, если:

1) промежуток интегрирования ограничен;

2) подынтегральная функция ограничена.

Нарушение хотя бы одного из этих условий для возможного присвоения интегралу

числового значения требует привлечения новых конструкций, которые и приводят к

так называемым несобственным интегралам.

1.1. Несобственный интеграл по неограниченному промежутку

1.1.1. Несобственный интеграл 1-го рода (НИ–1)

В этом разделе все функции предполагаются интегрируемыми по Риману на любом

ограниченном промежутке из области определения.

Математическая конструкция

+∞

R

a

f (x)dx несобственного интеграла первого рода

вводится следующим образом:

пусть функция f определена на промежутке [a, +∞) и интегрируема по Риману на

любом ограниченном промежутке [a, A], a, A ∈ R; пусть Φ(A) =

A

R

a

f (x)dx; предел

lim

A→+∞

Φ(A) = lim

A→+∞

A

Z

a

f (x)dx

(1.1)

обозначают

+∞

R

a

f (x)dx и называют несобственным интегралом первого рода

(НИ–1). Если этот предел существует и конечен, то НИ–1 называют сходящимся, а

функцию f называют интегрируемой (в несобственном смысле) на [a, +∞). В против-

ном случае (т.е. когда предел (1.1) не существует или бесконечен) говорят, что НИ–1

расходится.

Таким образом,

+∞

Z

a

f (x)dx = lim

A→+∞

A

Z

a

f (x)dx.

Пример 1.1.

+∞

R

0

dx

1 + x

2

= lim

A→+∞

A

R

0

dx

1 + x

2

= lim

A→+∞

¡

arctgx|

A

0

¢

= lim

A→+∞

arctgA =

π

2

.

Следовательно, интеграл

+∞

R

0

dx

1 + x

2

сходится и равен

π

2

, т.е.

+∞

R

0

dx

1 + x

2

=

π

2

.

Пример 1.2.

+∞

R

0

cos xdx = lim

A→+∞

¡

sin x|

A

0

¢

= lim

A→+∞

sin A. Так как этот предел не

существует, то интеграл

+∞

R

0

cos xdx расходится.

Отметим, что по определению сходимость НИ–1

+∞

R

a

f (x)dx означает:

∃ I ∈ R, ∀ ε > 0 ∃ A

ε

> a, ∀A ≥ A

ε

=⇒

¯

¯

¯

¯

A

Z

a

f (x)dx − I

¯

¯

¯

¯ ≤ ε.

Если f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, +∞), то

A

R

a

f (x)dx представляет собой площадь криво-

линейной трапеции. Естественно считать

+∞

R

a

f (x)dx =

lim

A→+∞

A

R

a

f (x)dx площадью

неограниченной криволинейной трапеции, заключенной между кривыми x = a,

y = f (x) и y = 0.

Несобственная двойная подстановка

По аналогии с операцией двойной подстановки F (x)

¯

¯

b

a

= F (b) − F (a) используют

операцию F (x)

¯

¯

+∞

a

= F (+∞) − F (a), понимая F (+∞) как lim

x→+∞

F (x). Такую опера-

цию называют также (несобственной) двойной подстановкой.

Результат несобственной двойной подстановки может дать число, ∞ или не суще-

ствовать. В последних двух случаях интеграл расходится.

Пример 1.3. Исследовать сходимость интеграла

+∞

Z

1

dx

x

α

в зависимости от пара-

метра α.

Решение. При α = 1 интеграл расходится. Действительно,

+∞

Z

1

dx

x

= ln x

¯

¯

+∞

1

= ln(+∞) − ln 1 = +∞.

Пусть α 6= 1. Тогда первообразной для

1

x

α

на [1, +∞) будет

x

−α+1

−α + 1

. Значит,

+∞

Z

1

dx

x

α

=

x

−α+1

−α + 1

¯

¯

¯

¯

+∞

1

=

(

1

α − 1

, при α > 1,

+∞,

при α < 1.

Таким образом,

+∞

Z

1

dx

x

α

сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1. Такой же

результат имеет место для интеграла

+∞

Z

a

dx

x

α

при любом a > 0 и используется как эта-

лонный при исследовании НИ–1 от положительных функций.

Критерий Коши сходимости НИ–1

Теорема 1.1. Интеграл

+∞

Z

a

f (x)dx сходится тогда и только тогда, когда

∀ ε > 0 ∃ A

ε

, ∀ A, B ≥ A

ε

=⇒

¯

¯

¯

¯

B

Z

A

f (x)dx

¯

¯

¯

¯ ≤ ε.

Пример 1.4. С помощью критерия Коши доказать сходимость интеграла

+∞

Z

1

sin 2x

x

2

+ sin

2

x

dx.

Р е ш е н и е . Не ограничивая общности, считаем B ≥ A. Имеем

¯

¯

¯

¯

B

Z

A

sin 2x

x

2

+ sin

2

x

dx

¯

¯

¯

¯ ≤

B

Z

A

| sin 2x|

x

2

+ sin

2

x

dx ≤

B

Z

A

dx

x

2

= −

1

x

¯

¯

¯

¯

B

A

=

1

A

−

1

B

≤

1

A

.

Обозначим A

ε

= max{1; 1/ε}. Из приведенных оценок следует, что для любого

ε > 0 существует A

ε

= max{1; 1/ε} такое, что для любых A, B ≥ A

ε

выполнено

¯

¯

¯

¯

B

Z

A

sin 2x

x

2

+ sin

2

x

dx

¯

¯

¯

¯≤ ε,

что, согласно критерию Коши, и означает сходимость интеграла

+∞

Z

1

sin 2x

x

2

+ sin

2

x

dx.

Критерий Гейне сходимости НИ–1

Теорема 1.2. Интеграл

+∞

Z

a

f (x)dx сходится тогда и только тогда, когда существует

I ∈ R такое, что для любой последовательности (A

n

), A

n

≥ a, A

n

→ +∞, выполня-

ется

A

n

Z

a

f (x)dx −→

n→+∞

I.

Замечание 1.1. Последовательность

A

n

Z

a

f (x)dx является последовательностью

частных сумм ряда

∞

X

k=1

A

k

Z

A

k−1

f (x)dx, A

0

= a. Поэтому

+∞

Z

a

f (x)dx сходится тогда и толь-

ко тогда, когда сходится ряд

∞

X

n=1

A

n

Z

A

n−1

f (x)dx (при любом выборе последовательности

(A

n

), A

0

= a, A

n

≥ a, A

n

→ +∞).

Замечание 1.2. Если существует последовательность (A

n

), A

n

≥ a, A

n

→ +∞,

такая, что ряд

∞

X

n=1

A

n

Z

A

n−1

f (x)dx расходится, то расходится и интеграл

+∞

Z

a

f (x)dx.

Пример 1.5. Рассмотрим интеграл

+∞

Z

0

sin xdx. Пусть A

n

= nπ, n ∈ N ∪ {0}. По-

строим ряд

+∞

X

n=1

A

n

Z

A

n−1

sin xdx =

+∞

X

n=1

nπ

Z

(n−1)π

sin xdx. Так как

+∞

X

n=1

nπ

Z

(n−1)π

sin xdx =

+∞

X

n=1

(− cos x)

¯

¯

¯

¯

nπ

(n−1)π

=

+∞

X

n=1

((−1)

n+1

− (−1)

n

) =

+∞

X

n=1

(−1)

n+1

· 2,

то ряд

+∞

X

n=1

A

n

Z

A

n−1

sin xdx расходится (n-ый член ряда не стремится к 0). Следовательно,

расходится и интеграл

+∞

Z

0

sin xdx.

Замечание 1.3. Если f (x) ≥ 0 ∀x ≥ a, то из существования последовательности

(A

n

), A

n

≥ a, A

n

→ +∞, такой, что ряд

∞

X

n=1

A

n

Z

A

n−1

f (x)dx сходится, следует сходимость

интеграла

+∞

Z

a

f (x)dx.

Замечание 1.4. Из сходимости интеграла

+∞

Z

a

f (x)dx не следует, что f (x) → 0

при x → +∞ (но

A

n

Z

A

n−1

f (x)dx → 0 для любой последовательности (A

n

), A

n

≥ a,

A

n

→ +∞).

Пример 1.6. Пусть f (x) =

½

n, если x ∈

£

n; 1/n

3

¤

;

0, для остальных x, x ≥ 1.

Рассмотрим

+∞

Z

1

f (x)dx =

∞

X

n=1

n+1/n

3

Z

n

ndx =

∞

X

n=1

n ·

1

n

3

=

∞

X

n=1

1

n

2

. Этот ряд сходится,

следовательно, сходится и интеграл

+∞

Z

1

f (x)dx, однако f (x) 9 0 при x → +∞.

Пример 1.7. Пусть f (x) =

½

n, если x = n;

0, если x 6= n.

Тогда

+∞

Z

1

f (x)dx = 0, однако f (x) 9 0, при x → ∞.

Замечание 1.5. Если существует lim

x→+∞

f (x) = c 6= 0, то

+∞

Z

a

f (x)dx расходится, так

как

A

n

Z

A

n−1

f (x)dx 6→

n→∞

0 для последовательности (A

n

) = (n) и, следовательно, расходит-

ся ряд

∞

X

n=1

A

n

Z

A

n−1

f (x)dx.

Вычисление и преобразование НИ–1

Замена переменных. Пусть функция ϕ на промежутке [α, β) непрерывно диффе-

ренцируема, строго монотонна, ϕ(α) = a, lim

t→β

ϕ(t) = +∞, тогда

+∞

Z

a

f (x)dx =

β

Z

α

f (ϕ(t))ϕ

0

(t)dt.

(1.2)

Замечание 1.6. β может быть числом или ±∞.

Пример 1.8.

+∞

Z

0

x

1 + x

4

dx =

·

x =

√

t, dx =

dt

2

√

t

¸

=

+∞

Z

0

dt

2(1 + t

2

)

=

1

2

arctg t

¯

¯

¯

¯

+∞

0

=

π

4

.

Замечание 1.7. Если

β

Z

α

f (ϕ(t))ϕ

0

(t)dt – риманов интеграл, то это значит, что

+∞

Z

a

f (x)dx является числом, т.е. сходится.

Замечание 1.8. Может оказаться, что функция f (ϕ(t))ϕ

0

(t) не ограничена на

[α, β). Такие интегралы будут рассмотрены позже.

Интегрирование по частям. Если функции u и v имеют непрерывные производ-

ные u

0

и v

0

на [a, +∞), то

+∞

Z

a

u(x)v

0

(x)dx = u(x)v(x)

¯

¯

¯

¯

+∞

a

−

+∞

Z

a

v(x)u

0

(x)dx

(1.3)

в предположении, что две из трех составляющих, входящих в эту формулу, существуют

(существование третьей составляющей и равенство следуют).

Пример 1.9. Так как при a > 0 и b 6= 0

+∞

Z

0

e

−ax

cos bxdx =

·

u = e

−ax

, du = −ae

−ax

dx, dv = cos bxdx, v =

1

b

sin bx

¸

=

=

1

b

e

−ax

sin bx

¯

¯

¯

¯

+∞

0

+

a

b

+∞

Z

0

e

−ax

sin bxdx =

=

·

u = e

−ax

, du = −ae

−ax

dx, dv = sin bxdx, v = −

1

b

cos bx

¸

=

= −

a

b

2

e

−ax

cos bx

¯

¯

¯

¯

+∞

0

−

a

2

b

2

+∞

Z

0

e

−ax

cos bxdx =

a

b

2

−

a

2

b

2

+∞

Z

0

e

−ax

cos bxdx,

то

+∞

Z

0

e

−ax

cos bxdx =

a

a

2

+ b

2

.

Аналогично,

+∞

Z

0

e

−ax

sin bxdx =

b

a

2

+ b

2

, a > 0.

Замечание 1.9. Формулы (1.2) и (1.3) позволяют не только вычислять, но и иссле-

довать сходимость НИ–1.

Свойства НИ–1

1. Линейность. Если сходятся интегралы

+∞

Z

a

f (x)dx и

+∞

Z

a

g(x)dx, то при любых

α, β ∈ R сходится и интеграл

+∞

Z

a

(αf (x) + βg(x))dx и

+∞

Z

a

(αf (x) + βg(x))dx = α

+∞

Z

a

f (x)dx + β

+∞

Z

a

g(x)dx.

В частности,

+∞

Z

a

(f (x) ± g(x))dx =

+∞

Z

a

f (x)dx ±

+∞

Z

a

g(x)dx;

+∞

Z

a

αf (x)dx = α

+∞

Z

a

f (x)dx.

2. Аддитивность. Пусть b ≥ a. Интеграл

+∞

Z

a

f (x)dx сходится тогда и только

тогда, когда сходится интеграл

+∞

Z

b

f (x)dx. При этом

+∞

Z

a

f (x)dx =

b

Z

a

f (x)dx +

+∞

Z

b

f (x)dx.

3. Монотонность (интегрирование неравенств). Пусть функции f и g ин-

тегрируемы на [a, +∞) и f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, +∞). Тогда

+∞

Z

a

f (x)dx ≤

+∞

Z

a

g(x)dx.

(1.4)