1. несобственные интегралы
НИ–1 от произвольных функций
Download 365.95 Kb. Pdf ko'rish
|
2 5197525441706984619
- Bu sahifa navigatsiya:
- Признак Абеля Теорема 1.5.
- Абсолютная сходимость НИ–1
- 1.1.4. Несобственные интегралы по произвольному неограни- ченному промежутку
- 1.2. Несобственный интеграл от неограниченной функции 1.2.1. Несобственный интеграл 2-го рода (НИ–2)
- Несобственная двойная подстановка
|
1.1.3. НИ–1 от произвольных функций Признак Дирихле Теорема 1.4. Пусть а) функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную на [a, +∞); б) функция g имеет на [a, +∞) непрерывную производную и монотонно стремится к 0 при x → +∞. Тогда несобственный интеграл +∞ Z
+∞ Z 0
√ x + 1 dx. Решение. Воспользуемся признаком Дирихле. Положим f (x) = sin 2x, g(x) = 1
x + 1 . При этом 1) функция f (x) = sin 2x непрерывна на [0; +∞); 2) ¯
¯ ¯
Z 0
¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯− 1 2
¯ ¯ ¯ ¯ A 0 = 1 2
3) g
(x) = − 1 2
x( √ x + 1) 2 – непрерывна, например, для x ≥ 1, а так как g 0 (x) < 0 для x ≥ 1, то g(x) → 0 при x → +∞, убывая. На основании признака Дирихле +∞ Z 1
√ x + 1 dx сходится. Учитывая, что 1 Z 0 sin 2x √ x + 1 dx представляет собой интеграл Ри- мана, можно заключить, что +∞ Z 0 sin 2x √ x + 1 dx сходится. Признак Абеля Теорема 1.5. Пусть а) функция f непрерывна на [a, +∞) и +∞ Z
f (x)dx сходится; б) функция g имеет непрерывную производную, ограничена и монотонна на [a, +∞). Тогда несобственный интеграл +∞ Z
+∞ Z 1
3 √ x arctgxdx. Решение. Воспользуемся признаком Абеля. Положим f (x) = cos x 3
+∞ Z 1
3 √ x dx сходится по при- знаку Дирихле. Функция g(x) = arctgx имеет на [1; +∞) непрерывную производную g 0 (x) = 1 1 + x 2 и монотонна (возрастает). Кроме того, |g(x)| ≤ π 2
исходный интеграл сходится.
Как и ранее, предполагается, что f (x) интегрируема по Риману на любом отрезке [a, A] ⊂ [a, +∞). Интеграл
+∞ Z
f (x)dx называют абсолютно сходящимся, если сходится +∞ Z
+∞ Z
+∞ Z
Интеграл
+∞ Z
f (x)dx называют неабсолютно (условно) сходящимся, если он схо- дится, но не сходится абсолютно. Замечание 1.11. +∞ Z
быть исследован с использованием отмеченных ранее признаков сходимости НИ–1 от положительных функций.
+∞ Z 0
x dx на абсолютную и неабсолютную сходимость. Решение. 1 Z 0 sin x x dx представляет собой интеграл Римана. Рассматриваем да- лее
+∞ Z 1 sin x x dx и исследуем его на абсолютную сходимость. Рассмотрим интеграл +∞ Z 1
x dx. Так как справедливо | sin x| x ≥ sin
2 x x = 1 − cos 2x 2x = 1 2x − cos 2x 2x
+∞ Z 1
2 x x dx = 1 2 +∞ Z 1 dx x − 1 2 +∞ Z 1 cos 2x x dx. Интеграл +∞ Z 1
x расходится. Исследуем сходимость +∞ Z 1
x dx, применяя признак Дирихле. Функция cos 2x непрерывна на [1; +∞) и ¯ ¯
¯ A Z 1 cos 2xdx ¯ ¯ ¯ ¯ =
¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 sin 2x ¯ ¯ ¯ ¯
1
1
непрерывно дифферен- цируема и монотонно стремится к нулю при x → +∞. Поэтому по признаку Дирихле +∞ Z 1 cos 2x x dx сходится. Один из интегралов расходится, другой сходится и их разность является расходящимся интегралом, т.е. +∞ Z 1 sin 2
x dx расходится. А тогда по признаку сравнения расходится и +∞ Z 1 | sin x| x dx. Таким образом, исходный интеграл не является абсолютно сходящимся. Исследуем его на сходимость. Здесь опять применим признак Дирихле: sin x непре- рывна на [1; +∞) и ¯ ¯
¯ A Z 1 sin xdx ¯ ¯ ¯ ¯≤ 2, функция 1
непрерывно дифференцируема и мо- нотонно стремится к нулю при x → +∞. Следовательно, +∞ Z 1
x dx сходится. Таким образом,
+∞ Z 0 sin x x dx сходится неабсолютно. Пример 1.25. Исследовать на абсолютную и неабсолютную сходимость интеграл +∞ Z 1
x α dx. Решение. 1) Если α > 1, то | sin x| x α ≤ 1
α , интеграл +∞ Z 1
x α сходится и, следова- тельно, интеграл +∞ Z 1
x α dx сходится абсолютно; 2) если 0 < α ≤ 1, то +∞ Z 1 | sin x| x α dx – расходится. Это показывается так же, как и в предыдущем примере: | sin x| x α ≥ sin
2 x x α = 1 2x α − cos 2x 2x
Интеграл
+∞ Z 1 dx x α расходится, а интеграл +∞ Z 1 cos 2x x α dx сходится по признаку Дирихле. Следовательно, интеграл +∞ Z 1 sin 2
x α dx расходится. Вместе с этим +∞ Z 1
x α dx сходится по признаку Дирихле и, следовательно, является неабсолютно сходящимся; 3) если α = 0, то имеем +∞ Z 1
¯ ¯ ¯ ¯ +∞ 1 – не существует, и +∞ Z 1 sin xdx – расходится; 4) если α < 0, то +∞ Z
sin x x α dx = ∞ X
π(n+1) Z
sin x
для определенного интеграла, πn ≤ ξ n ≤ π(n + 1)] = ∞ X
1
Z
sin xdx =
X
1
·
¸
=
X
(−1) n − (−1) n+1 ξ α n =
X
2(−1) n ξ α n . Но 1 ξ α n = ξ −α n ≥ (πn) −α 9 0 при n → ∞. Следовательно, ряд расходится, значит, расходится и интеграл. Подытоживая исследование, приходим к следующему ответу: если α > 1, то интеграл сходится абсолютно; если 0 < α ≤ 1, то интеграл сходится неабсолютно; если α ≤ 0, то интеграл расходится.
+∞ Z 0
2 dx на абсолютную и неабсолютную сходимость. Решение. Осуществим замену переменной +∞ Z 0
2 dx = ·
√ t, dx = 1 2 √ t dt ¸ = 1 2 +∞ Z 0 sin t √ t dt. В предыдущем примере установлено, что этот интеграл сходится неабсолютно. Сле- довательно, и исходный интеграл сходится неабсолютно.
1.1.4. Несобственные интегралы по произвольному неограни- ченному промежутку Если функция f задана на (−∞, b] и интегрируема на любом отрезке [B, b] ⊂ (−∞, b], то НИ–1
Z
f (x)dx определяют следующим образом: b Z
f (x)dx = lim B→−∞ b Z
f (x)dx. Интеграл сходится, если этот предел конечен. Для таких интегралов справедливы аналоги теорем, сформулированных ранее для интегралов +∞ Z
f (x)dx. Если f задана на (−∞, +∞), то НИ–1 +∞ Z
f (x)dx понимают как сумму +∞ Z
Z
f (x)dx + +∞ Z
при любом фиксированном c ∈ R. Это означает, что +∞ Z
f (x)dx = lim B→−∞ c Z
f (x)dx + lim A→+∞ A Z
f (x)dx. Интеграл
+∞ Z
f (x)dx называют сходящимся, если сходятся оба интеграла c Z
f (x)dx и +∞ Z
0 Z −∞ dx 2x 2
0 Z −∞ dx 2x 2
= 0 Z −∞ dx (2x − 3)(x − 1) = 0
−∞ µ 2 2x − 3 − 1
¶
= · ln |2x − 3| − ln |x − 1| ¸ 0 −∞ = ln
¯ ¯2x − 3 x − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0
= ln 3 − ln 2 = ln 3/2.
Z
arctgx 3
x 3
5
Решение. Имеем arctgx 3
3
5
5/3 при x → −∞. Поскольку
Z
dx x 5/3 сходится, то сходится и исходный интеграл. 1.2. Несобственный интеграл от неограниченной функции 1.2.1. Несобственный интеграл 2-го рода (НИ–2) Пусть функция f определена на полуинтервале [a, b) и не ограничена в любом ин- тервале (b − η, b), η > 0. В этом случае точку b называют особой точкой функции. Бу- дем предполагать, что существует окрестность точки b, в которой функция других осо- бых точек не имеет, и что f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b − η], η > 0, т.е. существует Φ(η) =
Z
f (x)dx. Предел
lim η→+0 Φ(η) = lim η→+0 b−η Z 1 f (x)dx (1.7)
обозначают b Z
f (x)dx и называют несобственным интегралом 2-го рода (НИ-2). Ес- ли этот предел существует и конечен, то НИ-2 называют сходящимся, а функцию f называют интегрируемой на [a, b). В противном случае (т.е. когда предел (1.7) не су- ществует или бесконечен) говорят, что НИ-2 расходится. Таким образом,
Z
f (x)dx = lim η→+0 b−η Z
f (x)dx = lim c→b−0 c Z
f (x)dx. Пример 1.29. Имеем 1 Z 0 dx 1 − x = lim
c→1−0 c Z 0 dx 1 − x = lim
c→1−0 µ
¯ ¯
¯ c 0 ¶ = lim
c→1−0 (− ln(1 − c)) = +∞. Следовательно, интеграл расходится.
1 Z 0 dx √ 1 − x = lim
c→1−0 c Z 0 dx √ 1 − x = lim
c→1−0 µ
√ 1 − x ¯ ¯
¯ c 0 ¶ = = lim
c→1−0 µ
√ 1 − c + 2 ¶ = 2. Таким образом, НИ–2 сходится и равен 2. Несобственная двойная подстановка В примере 1.30 первообразная F (x) = −2 √ 1 − x определена в особой точке и для вычисления НИ–2 можно использовать обычную двойную подстановку. В случае, когда F (x) не определена в точке b, используют несобственную двой- ную подстановку F (x) ¯ ¯ ¯ ¯
a = F (b) − F (a), понимая F (b) как предел lim x→b−0 F (x). В слу- чае, когда F (x) непрерывна на [a, b], несобственная двойная подстановка становится обычной двойной подстановкой.
1 Z 0 dx √ 1 − x 2 = arcsinx ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 = π 2
Пример 1.32. 2 Z 0 xdx √ 4 − x 2 = − √ 4 − x 2 ¯
¯ ¯ 2 0 = 2. Пример 1.33. Рассмотрим интеграл b Z
dx (b − x) p . Если p = 1, то b Z
dx (b − x) p =
¯ ¯
¯ b a = − ln (+0) + ln (b − a) = +∞. Следовательно, интеграл расходится. Если p 6= 1, то
Z
dx (b − x) p = 1 p − 1 · 1 (b − x) p−1 ¯ ¯ ¯ ¯
a = +∞, если p > 1, 1 1 − p · 1 (b − a) p−1 , если p < 1. Таким образом, НИ–2 b Z
dx (b − x) p сходится при p < 1 и расходится при p ≥ 1. Сходимость
Z
f (x)dx означает, что существует такое I ∈ R, что для любого ε > 0 существует такое c ε , что для любого c ∈ (c ε , b) выполнено ¯ ¯ ¯ ¯
Z
¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ε. Download 365.95 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|