1. несобственные интегралы
Download 365.95 Kb. Pdf ko'rish
|
2 5197525441706984619
- Bu sahifa navigatsiya:
- Критерий Гейне Теорема 1.8.
- Свойства НИ–2 Линейность.
- Монотонность (интегрирование неравенств).
- Различные случаи расположения особых точек
- Вычисление и преобразование НИ–2 Замена переменных.
- Интегрирование по частям.
|
Критерий Коши Теорема 1.7. Интеграл b Z
f (x)dx сходится тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует такое c ε , что для любых c 1
2
¯ ¯ ¯ ¯
2 Z
1 f (x)dx ¯ ¯ ¯ ¯≤ ε. Критерий Гейне Теорема 1.8. Интеграл b Z
f (x)dx сходится тогда и только тогда, когда для любой последовательности (x n ), x n ∈ [a, b), x 0 = a, x n → b − 0, сходится ряд ∞ X
x n Z
n−1 f (x)dx. Свойства НИ–2 Линейность. Если b Z
f (x)dx и b Z
g(x)dx сходятся, то для любых α, β ∈ R схо- дится и интеграл b Z
(αf (x) + βg(x))dx, и имеет место равенство
Z
(αf (x) + βg(x))dx = α
Z
f (x)dx + β b Z
g(x)dx. В частности, b Z
(f (x) ± g(x))dx =
Z
f (x)dx ± b Z
g(x)dx, b Z
αf (x)dx = α b Z
f (x)dx. Аддитивность. Если b Z
f (x)dx сходится и a < c < b, то сходится и интеграл b Z
f (x)dx, и имеет место равенство b Z
f (x)dx = c Z
f (x)dx + b Z
f (x)dx. Монотонность (интегрирование неравенств). Если f (x) ≤ g(x) для всех x ∈ [a; b), и сходятся интегралы b Z
f (x)dx и b Z
g(x)dx, то b Z
f (x)dx ≤ b Z
g(x)dx. Различные случаи расположения особых точек Если f (x) определена на (a, b], интегрируема на любом [c, b] ⊂ (a, b] и имеет особую точку a, то полагают
Z
f (x)dx = lim ν→+0 b Z
f (x)dx. Если особыми точками являются точки a и b, то полагают b Z
f (x)dx = d Z
f (x)dx + b Z
f (x)dx = lim c 1
d Z
1
2
c 2 Z d f (x)dx, ∀d ∈ (a, b). Сходимость b Z
f (x)dx означает, что оба предела существуют и конечны. Выбор числа d на сходимость и величину интеграла не влияет. Пример 1.34. Исследовать сходимость интеграла 2 Z 0 dx √ 2x − x 2
2 Z 0 dx √ 2x − x 2 =
Z 0
√ 2x − x 2 +
Z 1
√ 2x − x 2 = lim
ν 1
1 Z
1 dx p 1 − (x − 1) 2 + + lim ν 2
2−ν 2 Z 1 dx p 1 − (x − 1) 2 = lim
ν 1
arcsin(x − 1) ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ν 1 + lim ν 2
arcsin(x − 1) ¯ ¯ ¯ ¯ 2−ν 2 1 = = lim ν 1
¡
1
¶ + lim
ν 2
arcsin(1 − ν 2 ) = arcsin1 + arcsin1 = π 2 + π 2 = π. Таким образом, интеграл сходится и его значение равно π. Пример 1.35. Исследовать сходимость интеграла b Z
dx (x − a) p . Здесь особая точ- ка x = a. При p = 1 имеем b Z
dx x − a = ln(x − a) ¯ ¯
¯ b a = +∞ и интеграл расходится. При p 6= 1 получаем
Z
dx (x − a) p =
Z
(x − a) −p dx = (x − a) −p+1 −p + 1 ¯ ¯ ¯ ¯
a . Если p < 1, то двойная подстановка приводит к числу, что означает сходимость интеграла. Если же p > 1, то на нижнем пределе подстановка приводит к +∞, что означает расходимость интеграла. Таким образом, интеграл
Z
dx (x − a) p сходится при p < 1 и расходится при p ≥ 1. В частности,
Z 0 dx x p , c > 0, сходится при p < 1 и расходится при p ≥ 1 (ср. с НИ–1, пример 1.3). Рассматриваемые в этом примере интегралы служат эталоном при исследовании сходимости НИ–2. Если особая точка c расположена внутри (a, b), то сходимость интеграла
Z
f (x)dx означает, что сходятся оба интеграла c Z
f (x)dx и b Z
f (x)dx. И тогда b Z
f (x)dx = c Z
f (x)dx + b Z
f (x)dx. Пример 1.36. Исследовать сходимость интеграла 2 Z −1 dx 3
x . Решение. Особая точка x = 0. Поскольку 2 Z −1 dx 3
x = 0 Z −1 dx 3
x + 2 Z 0
3
и каждый
из интегралов сходится (эталонный интеграл, p = 1 3 < 1), то интеграл 2 Z −1 dx 3
x также
сходится. Пример 1.37. Исследовать сходимость интеграла 2 Z −1 dx x . Решение. Особая точка x = 0. Интеграл 0 Z −1 dx x расходится (эталонный интеграл, p = 1) следовательно, расходится и 2 Z −1 dx x . Пример 1.38. Исследовать сходимость интеграла 1 4 Z − 1 2 dx x ln 2
2
1 4 Z − 1 2 dx x ln 2
2 =
Z − 1 2 dx x ln 2
2 +
4 Z 0 dx x ln 2
2 = lim
ν 1
1 4
1 Z
1 2
x ln 2 (−x) + lim ν 2
1 4
4 Z
2
2
= =
4 lim
ν 1
·
1 ln(−x) ¸ −ν 1
1 2
1 4 lim ν 2
·
1 ln x ¸ 1 4 −ν 2 = 1 4 lim ν 1
µ
1 ln ν 1 + 1 ln 1 2 ¶ + + 1 4 lim ν 2
µ
1 ln 1 4 + 1 ln ν 2 ¶
1 4
1 ln 2
+ 1 4 1 ln 4
= − 1 4 ln 2 + 1 8 ln 2 = − 1 8 ln 2 . Следовательно, интеграл сходится и равен − 1 8 ln 2
. Замечание 1.12. Свойства и методы изучения НИ-2 всех типов одни и те же. Да- лее мы будем изучать b Z
f (x)dx с особой точкой b, хотя для иллюстрации могут быть использованы НИ-2 любого типа. Вычисление и преобразование НИ–2 Замена переменных. Пусть функция ϕ монотонна, непрерывно дифференцируе- ма на промежутке c концами α и β, осуществляет биекцию этого промежутка на (a, b), и lim
Z
f (x)dx = β Z
f (ϕ(t))ϕ 0 (t)dt. При этом НИ–2 может преобразоваться в НИ–2, в НИ–1 и даже в интеграл Римана. Например, замена 1
= t преобразует b Z
f (x)dx в НИ–1 вида +∞ Z 1
g(t)dt. Пример 1.39. Вычислить интеграл 2 Z 0 x 3
√ 4 − x 2
2 Z 0 x 3
√ 4 − x 2 = − 1 2 2 Z 0
2
2 ) √ 4 − x 2 = [4 − x 2 = t] = − 1 2
Z 4 (4 − t)dt √ t = = 1 2 4 Z 0 (4t −1/2 − t 1/2 )dt = 1 2 µ 8t 1/2
2 3 t 3/2 ¶¯ ¯
¯ 4 0 = 1 2 µ 16 − 16 3
= 16 3 . Пример 1.40. Вычислить интеграл e 2 Z 1 dx x √ ln x . Решение. e 2 Z 1 dx x √ ln x = ·
dx x = dt ¸ =
Z 0
√ t = 2
√ t ¯ ¯ ¯ ¯ 2 0 = 2
√ 2. Пример 1.41. Вычислить интеграл 1 Z 0 dx (2 − x) √ 1 − x . Решение. 1 Z 0 dx (2 − x) √ 1 − x = [1 − x = t 2
2
= − 0 Z
2tdt (1 + t 2 )t = 2 1 Z 0 dt 1 + t 2 = 2arctgt ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 = π 2
Пример 1.42. Вычислить интеграл 1 Z 0 dx p
. Решение. 1 Z 0 dx p
= 2 1
0 d( √ x) √ 1 − x = [
1 Z 0 dt √ 1 − t 2 = 2arcsint ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 = π. Пример 1.43. Вычислить интеграл − 1 3 Z −1 dx x √ 3x 2
1 3 Z −1 dx x √ 3x 2
=
1 3
−1 dx x · |x| · r 3 − 2 x − 1
2 = [|x| = −x, x < 0] = = − − 1 3 Z −1 dx x 2 r 3 − 2
− 1
2 =
1 x = t, −dx/x 2 = dt ¸ =
Z
3 − 2t − t 2 =
−3 Z
dt p 4 − (t + 1) 2 = arcsin
t + 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ −3 −1 = arcsin(−1) = − π 2
Интегрирование по частям. Если функции u, v имеют непрерывные производные u 0 , v 0 на промежутке [a; b), то b Z
u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x) ¯ ¯
¯ b 0
b Z
v(x)u 0 (x)dx в предположении, что две из трех составляющих этой формулы существуют.
1 Z 0 ln x √ x dx. Решение. 1 Z 0 ln x √ x dx = u = ln x dv = dx √ x du = dx x v = 2 √ x = 2 √ x ln x ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 − 2 1 Z 0 dx √ x = = −2 lim x→+0 √ x ln x − 4 √ x ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 = −4. Пример 1.45. Вычислить интеграл 0 Z −1 xarcsinx √ 1 − x 2
0 Z −1 xarcsinx √ 1 − x 2
=
dv = x √ 1 − x 2
1 − x 2
1 − x 2
= = − √ 1 − x 2 arcsinx ¯ ¯ ¯ ¯ 0
+ 0
−1 dx = 1. |
