1. Nisbiy, ko’chirma va absolyut harakat

7-Mavzu. Nuqtaning murakkab harakati Mavzuning rejasi Nisbiy, ko’chirma va absolyut harakat

7-Mavzu. Nuqtaning murakkab harakati

Mavzuning rejasi

1.Nisbiy, ko’chirma va absolyut harakat.

2.Nuqtaning murakkab harakatida tezliklarini aniqlash.

3.Nuqtaning murakkab harakatida uning tezlanishlarini aniqlash.

4.Koriolis tezlanishi

Mavzuning maqsadi.Ushbu maruzada, nuqtaning bir vaqtni o’zida ikki va undan ortiq harakatlarida birvarakayida ishtirok etganida, uning tezlik va tezlanishlarini qanday aniqlashni o’rganamiz.

Tayanch so’z va iboralar:Nuqtaning murakaab harakati, nisbiy, ko’chirma va absolyut harakat, nuqtaning murakab harakatida tezliklarni qo’shish, ko’chirma ilgarilama harakat, ko’chirma aylanma harakat, lokal hosila, to’liq hosila, qo’zgaluvchan koordinatalarning birlik ortlaridan olingan hosila, Eyler formulasi, tezlanishlarni qo’shish, Koriolis tezalnishi.

Bayoni.Biz hozirgi ma`uzagacha har qanday harakatni qo’zgalmas koordinata o’qlariga nisbatan sodir bo’lishini va uning qonuniyatlarini ko’rib o’tgan edik, bunday harakatlar oddiy harakatlar turiga kiradi. Endi agarda nuqta ixtiyoriy erkin yoki boglanishli harakatda bo’lgan boshqa birorta qattiq jismning ustida yoki ichida harakatlanayotgan bo’lgan xolatni, ya`ni ham o’zi harakatlansin, hamda uni boshqa jism o’zi bilan birga olib yurgan xolatdagi harakatini ko’rib o’tamiz.

Masalan, uchib ketayotgan samolyotning ichidagi styuardessaning harakati, harakatlanayotgan poezdning, dengizda suzayotgan kemaning yoki harakatdagi avtobusning ichidagi odamning harakati, murakkab harakatga misol bo’laoladi, chunki shu odam bir vaqtni o’zida ikkita harakatda ishtirok etmoqda.

1.Nisbiy, ko’chirma va absolyut harakat.

Bunday murakkab harakatlar, texnikada juda ko’p uchraydi, ayniqsa zamonaviy robotlarning harakatida bunday masalalarni ko’plab yechishgato’g’rikeladi. Umuman olganda murakkab harakatlarning kinematikasi nazariy mexanika fanining asosiy vazifalaridan xisoblanadi.

Faraz qilaylik daryoda suzib ketayotgan kemani ustida birorta shar dumalab ketayotgan bo’lsin. U holda uning harakati murakkab harakat turlariga kiradi, sababi shuki, u kema bilan birgalikda ko’chirma harakat qilmoqda va kemaga nisbatan nisbiy harakatda ishtirok etmoqda. Agar shu shar kemaga nisbatan qimirlamay tursa, u faqat ko’chirma harakatda ishtirok etadi xolos, ya`ni u oddiy harakatda bo’ladi xolos.

Nazariy mexanika fanida, kema, samolyot, avtobus, poezd degan tushunchalardan faqat masalalar yechilgandagina foydalaniladi. Nazariya`ni o’rganganishda faqat qo’zgaluvchi yoki qo’zgalmas koordinatalar sistemasi degen tushunchalardan foydalaniladi xolos. Masalan, harakatlanayotgan kema, samolyot, poezdlarga maxkamlangan koordinata o’qlari qo’zgaluvchan koordinatalar sistemasi deb ataladi. yerga maxkamlangan koordinatalar sistemasini qo’zgalmas koordinatalar sistemasi deb ataladi.

Shunga ko’ra nuqtaning qo’zgaluvchan koordinatalar sistemasiga nisbatan qilgan harakatini nisbiy harakatdeyiladi, nuqtaning qo’zgaluvchi sistemadan oladigan harakatiga ko’chirma harakatdeyiladi, nuqtaning qo’zgalmas koordinatalar sistemasiga nisbatan qilgan harakatini absolyut harakatdeb ataladi.

17.1 shaklda ixtiyoriy M nuqtaning murakkab harakati tasvirlangan bo’lib, uning qo’zgaluvchan Oxuz koordinata o’qlariga nisbatan qilgan harakati nisbiy harakatdeb ataladi. Uning qo’zgalmas O1x1u1z1 koordinata o’qlariga nisbatan qilgan harakati absolyut harakatdeyiladi. Nuqtaning qo’zgaluvchi Oxuz koordinatalarning qiladigan harakatidan oladigan harakati ko’chirma harakatdeyiladi.

Xuddi shu kabi, nuqtaning qo’zgaluvchan Oxuz koordinata o’qlaridagi tezligi nisbiy tezlikdeb ataladi. Uning qo’zgalmas O1x1u1z1 koordinata o’qlariga nisbatan qilgan harakatidan oladigan tezligi absolyut tezlikdeyiladi. Nuqtaning qo’zgaluvchi Oxuz koordinatalarning qilgan harakatidan oladigan tezligi ko’chirma tezlikdeyiladi.

Murakkab harakatdagi tezliklar turlicha bo’lganligini etiborga olib, nazariy mexanika fanida ularni qo’yidagicha belgilash qabul qilingan: ko’chirma tezlik - ve, nisbiy tezlik - vr,absolyut tezlik - v, yoki - va, belgilari bilan belgilanadi.

Shunga ko’ra murakkab harakatdagi nuqtaning absolyut tezlik vektori nisbiy va ko’chirma tezlik vektorlarining vektor yig’indilaridan iborat bo’lar ekan, ya`ni

(8.1)
8.1 shakl.

Nuqtaning absolyut harakatini aniqlash uchun, unga qo’zgalmas va qo’zgaluvchan koordinata o’qlarining boshlaridan radius vektorlar o’tkazib (8.1 shakl), qo’yidagi vektor tenglamani xosil qilamiz,

(8.2)

bu yerdagi rO va r vektorlari qo’yidagicha ifodalanadilar,

(8.3)

(8.4)

Nuqtaning absolyut tezligini aniqlash uchun, (8.2) vektor tenglamadan vaqt bo’yicha bir marta hosila olamiz,

(8.5)

8.5 vektor tenglamadagi har bir hosilani qanday olinishi xaqida ozgina to’xtalib o’tamiz, chunki qo’zgalmas koordinatalarning birlik ortlaridan, olingan hosila nolga teng chunki ular o’zgarmas qiymatlardir, ya`ni

(8.6)

Agarda qo’zgaluvchi koordinatalar sistemasi, faqat ilgarilama harakat qilsa, u holda uning ham birlik koordinata ortlari o’zgarmas qiymat bo’lib, ularning hosilalari ham nolga teng bo’ladi, ya`ni

lekin, agarda qo’zgaluvchan koordinatalar sistemasi aylanma harakatda ham ishtirok etsa, uning birlik ortlari o’zgaruvchan qiymatlardan iborat bo’lib, ulardan vaqt bo’yicha olingan hosila qo’yidagi Eyler formulalariorqali yoziladi,

(8.7)

bu yerda  - qo’zgaluvchan koordinatalar sistemasining aylanma harakatidagi burchakli tezligi, u holda (8.4) vektor tenglamadan vaqt bo’yicha olingan birinchi hosila qo’yidagicha bo’ladi,

(8.8)

(8.7)formulani etiborga olsak,

(8.9)

nazariy mexanika fanida lokal hosila (yoki nisbiy hosila)degan tushuncha kiritilib, unday hosilani ustiga to’lqinsimon belgi qo’yiladi. 8.9 tenglamaning chap tarafidagi yig’indilarni qo’yidagicha belgilaymiz,

bularni e`tiborga olgan holda (8.9) vektor tenglama qo’yidagicha yoziladi,

(8.10)

Yuqorida takidlaganimizdek, agar qo’zgaluvchan koordinatalar sistemasi, ilgarilama harakat qilsa, ko’chirma burchakli tezlik nolga teng bo’ladi, ya`ni q0, va shu sababli (8.10) tenglamaning ikkinchi yigindisi nolga teng bo’ladi,

(8.11)

Demak, qo’zgaluvchan koordinatalar sistemasi ilgarilama harakat qilsa, loqal hosila to’liq hosilaga teng bo’lar ekan.

Shunday qilib nuqtaning murakkab harakatini ikki xilga ajratib olish lozim ekan, ulardan birinchisida qo’zgaluvchi koordinatalar sistemasi qutb bilan birga faqat ilgarilama harakat qiladi (q0, vAqf(t)), ikkinchisida esa qo’zgaluvchan koordinatalar sistemasi ham ilgarilama, ham aylanma yoki faqat aylanma harakat qiladi (q f1(t), vAqf2(t)).

2.Nuqtaning murakkab harakatida tezliklarini aniqlash.

Nuqtaning murakkab harakatidagi absolyut tezligini aniqlash uchun, 8.2 vektor tenglamadan vaqt bo’yicha bir marta hosila olib, 8.5 tenglikni xosil qilamiz. Shundan so’ng:

-agar qo’zgaluvchan koordinatalar sistemasi qutb bilan birgalikda faqat ilgarilama harakat qilsa, nuqtaning absolyut tezligi qo’yidagicha hisoblanadi, ya`ni

(8.12)

bu holda ko’chirma tezlik faqat qutbning tezlik vektoridan iborat bo’ladi,

-agar qo’zgaluvchan koordinatalar sistemasi qutb bilan birgalikda ham ilgarilama, ham aylanma harakat qilsa, nuqtaning absolyut tezligi qo’yidagicha hisoblanadi, ya`ni

(8.13)

bu holda ko’chirma tezlik ikkita vektor yig’indidan iborat bo’ladi,
3. Nuqtaning murakkab harakatida uning tezlanishlarini aniqlash.

a) Ko’chirma harakat faqat ilgarilama harakat bo’lganda, nuqtaning absolyut tezlanishini aniqlash.

Agar qo’zgaluvchan koordinatalar qutb bilan birgalikda faqat ilgarilama harakat qilsa, ya`ni ko’chirma harakat faqat ilgarlama harakatdan iborat bo’lsa, nuqtaning absolyut tezlanishini aniqlash uchun 8.12 vektor tenglamadan vaqt bo’yicha yana bir marta hosila olamiz, ya`ni

(8.14)

Demak, nuqtaning murakkab harakatida, uning ko’chirma harakati faqat ilgarilama harakatdan iborat bo’lsa, uning absolyut tezlanishi ikkita vektor qiymatlardan iborat bo’lib, birinchisi qutb bilan birgalikdagi ko’chirma tezlanish vektori, ikkinchisi nisbiy tezlanish vektorlaridan iborat bo’lar ekan.

b) Ko’chirma harakat ham ilgarilama, ham aylanma harakatlardan iborat bo’lganda, nuqtaning absolyut tezlanishini aniqlash.

Agar qo’zgaluvchan koordinatalar sistemasi qutb bilan birgalikda ham ilgarilama, ham aylanma harakat qilsa, ya`ni ko’chirma harakat ham ilgarilama, ham aylanma harakatlardan iborat bo’lsa, nuqtaning absolyut tezlanishini aniqlash uchun 8.13 vektor tenglamadan vaqt bo’yicha yana bir marta hosila olamiz, ya`ni
8.11 formulaga asosan, yuqoridagi formula qo’yidagi ko’rinishga keladi,

yoki

8.15

ko’chirma tezlanishni aniqlash uchun, nisbiy harakatlarni to’xtatamiz, ya`ni vrq0 va arq0 bo’lsin, u holda

(8.16)

8.16 ni 8.15 ga qo’sak,

(8.17)

8.17 nchi tenglamani 8.14 tenglama bilan solishtirib, qo’shimcha ga teng bo’lgan qiymat paydo bo’lganini aniqlaymiz, bu qo’shimcha tezlanish qo’zgaluvchan koordinatalr sistemasining aylanma harakatidan paydo bo’lar ekan.

4.Koriolis tezlanishi

Ushbu qo’shimcha qiymatni Koriolis tezlanishi, yoki qo’shimcha tezlanish deb ataladi, agarda qo’zgaluvchan koordinatalar sistemasi faqat ilgarilama harakat qilsa, ya`ni q0 bo’lsa 8.8 va 8.14 tenglamalar bir xil ko’rinishga keladi. 8.8 tenglamaning ko’rinishi esa qo’yidagi holga keladi,

(8.18)

Demak, nuqtaning murakkab harakatida, uning ko’chirma harakati ham ilgarilama, ham aylanma harakatlardan iborat bo’lsa, uning absolyut tezlanishi uchta vektor qiymatlardan iborat bo’lib, birinchisi, ko’chirma tezlanish vektori, ikkinchisi nisbiy tezlanish vektori, uchinchisi qo’shimcha yoki Koriolis tezlanishidan iborat bo’lar ekan. Ushbu qoidani nazariy mexanikada Koriolis teoremasi deb yuritiladi.

Endi qaysi hollarda Koriolis tezlanishi nolga teng bo’lish xollarini ko’rib chiqaylik:

Yuqorida takidlaganimizdek ko’chirma harakat ilgarilama harakat bo’lganda, Koriolis tezlanishi nolga teng bo’ladi, chunki ko’chirma harakatning burchakli tezligi q0 nolga teng bo’ladi, va

2) Nisbiy harakat yo’q bo’lganda, u holda vrq0 bo’ladi, va

Nisbiy tezlik vektori bilan, ko’chirma harakatdagi burchakli tezlik vektori o’zaro parallel yo’nalishganda, ya`ni ular orasidagi burchak q0oyoki q180obo’lganda. Sababi shuki, vektorlar algebrasi qoidasiga ko’ra,

shakl.

8.4 shaklda Koriolis tezlanish vektorining yo’nalishi tasvirlangan. Shakldan ko’rinib turgandek, Koriolis tezlanish vektori - aKorning yo’nalishi burchakli tezlik ovektori - bilan, nisbiy tezlik vektori - vryotgan tekislikka perpendikulyar bo’lib, uning uchidan qaraganda,  vektorini soat strelkasiga teskari yo’nalishda 180 gradusdan kichkina bo’lgan burchakka burganimizda, nisbiy tezlik vektori bilan ustma-ust tushadi.

Masala. Dengiz kemasi CBN meridian bo’ylab, janubdan shimolga qarab suzib kelmoqda. Kemaning nisbiy tezligi 36 kmG’c. Kema suzayotgan joyning geografik kengligi q60ova yerning radiusi Rq64105m., bo’lsa yerning o’z o’qi atrofida aylanishini etiborga olib kemaning absolyut tezligi va absolyut tezlanishi aniqlansin.

Echish. Kema bir vaqtni o’zida ikkita harakatda ishtirok etmoqda. Birinchidan yerning o’qi ON atrofida aylanma harakatda, ikkinchidan CBN meridian bo’ylab nisbiy harakatda ishtirok etmoqda. Shu sababli kemaning absolyut tezligi, 8.1 formulaga asosan ko’chirma va nisbiy tezlik vektorlarining yig’indisidan iborat bo’ladi,

(a3)

Ko’chirma tezlik, yerning aylanishidan iborat bo’lib, V nuqta uchun qo’yidagicha aniqlanadi,

(b3)

buyerda e- yerning burchakli tezligi. yer o’z o’qi atrofida 24 soatda bir marta aylansa, uni radian sekundlarda ifodalash uchun, qo’yidagicha yozib olamiz,

(s3)

ushbu qiymatni (b3) ga qo’ysak,

(d3)

Bu ko’chirma tezlikning yo’nalishi, V nuqtadan o’tkazilgan parallelga urinma ravishda yo’nalgan bo’ladi.

8.5 shakl.

Nisbiy tezlik vrq36kmG’soatq10mG’c., bo’lib u CN meridianning V nuqtasiga urinma bo’ylab yo’nalgan. Shunga ko’ra kemaning absolyut tezligi,

(e3)

Endi kemaning absolyut tezlanishini aniqlaymiz. Kema murakkab harakatda ishtirok etmoqda, va ko’chirma harakat aylanma harakat bo’lganligi uchun, Koriolis teoremasiga asosan absolyut tezlanish vektori 8.18 formula orqali aniqlanadi,

(g3)

Ushbu formuladagi ko’chirma ttezlanish vektori, yerning aylanishidan oladigan tezlanishidan iborat bo’ladi. Kema yerning o’qi atrofida u bilan birga aylanma harakatda ishtirok etmoqda, shuning uchun aslidaikkita tezlanish bo’lishi kerak edi, ya`ni

lekin ko’chirma tezlik, o’zgarmas bo’lganligi uchun, ya`ni veqconst bo’lganligi sababli,

shu sababli, kemaning ko’chirma tezlanishi faqat normal tezlanishdan iborat bo’ladi,

(h)

va ushbu vektor V nuqtadan A nuqtaga tomonga yo’naladi. Nisbiy harakat ham aylana bo’ylab sodir bo’layotganligi va nisbiy tezlik ham o’zgarmas bo’lganligi sababli, nisbiy urinma tezlanish nolga teng bo’lib, faqat nisbiy normal tezlanish paydo bo’ladi,

lekin ushbu tezlanish vektorining yo’nalishi V nuqtadan yerning markazi O nuqtaga tomon yo’nalgan bo’ladi.

Endi uchinchi yigindi, ya`ni Koriolis tezlanishini aniqlaymiz, 8.18 formulaga asosan,

uning moduli,

8.4 shaklda ko’rsatilgan qoidaga asosan, Koriolis tezlanish vektori 60oshimoliy kenglikdagi parallelga urinma holdasharqdan garbga tomon yo’naladi.

Savollar:

Murakkab harakatdagi nuqtaning absolyut tezlik vektori qanday aniqlanadi?

Murakkab harakatdagi nuqtaning nisbiy tezlik vektori qanday aniqlanadi?

Murakkab harakatda ko’chirma tezlik vektori qanday belgilanadi?

Murrakkab harakatda lokal hosila qachon paydo bo’ladi, qanday aniqlanadi?

Murakkab harakatdagi nuqtaning nisbiy tezlanish vektori qanday aniqlanadi?

Murakkab harakatdagi nuqtaning ko’chirma tezlanish vektori qanday aniqlanadi?

Murakkab harakatdagi nuqtaning Koriolis tezlanish vektori qanday aniqlanadi?

Murakkab harakatdagi nuqtaning absolyut tezlanish vektori qanday aniqlanadi?

Koriolis tezlanishining moduli va yo’nalishi qanday aniqlanadi?

Qaysi hollarda Koriolis tezlanishi nolga teng bo’ladi?

Koriolis tezlanishiga misollar keltiring?

http://fayllar.org