1°. Nuqtada uzluksiz bo’lgan funksiyaning xossalari

16−ma’ruza. Uzluksiz funksiyalarning xossalari
Biz ushbu mavzuda nuqtada hamda oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiya-larning xossalarini o’rganamiz.
1°. Nuqtada uzluksiz bo’lgan funksiyaning xossalari (lokal xossalari). funksiya to’plamda aniqlangan. bo’lib, funksiya nuqtada uzluksiz bo’lsin:

Chelki limitga ega bo’lgan funksiyalarning xossalaridan foydalanib, nuqtada uzluksiz bo’lgan funksiyalarning ham quyidagi xossalarini ayta olamiz:
1). Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda nuqtaning yetarli kichik atrofida funksiya chegaralangan bo’ladi.
2) Agar funksiya nuqtada uzluksiz va bo’lsa, u holda, nuqtaning yetarli kichik atrofidan olingan barcha nuqtalarda funksiya qiymatlari- ning ishorasi ning ishorasi kabi bo’ladi.
1–natija. Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo’lib, bu nuqtaning yetarli kichik atrofidan olingan nuqtalarda uning qiymatlari musbat ham manfiy bo’laversa, funjksiyaning nuqtadagi qiymati nolga teng bo’ladi.
3). Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda uchun nuqtaning shunday yetarli kichik atrofi topiladiki, bu atrofdan olingan ixtiyoriy uchun bo’ladi.
◄Haqiqatan, funksiya nuqtada uzluksiz bo’lganligidan son olinganda ham, ga ko’ra shunday son topiladiki, tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha lar uchun tengsizlik bajariladi. nuqtaning yetarli kichik atrofidan olingan nuqtalar uchun ham

tengsizliklar o’rinli bo’lib, ulardan tengsizlik kelib chiqadi.
4). Aytaylik, funksiya nuqtada
(1)
ga ega bo`lib, funksiya to`plamda berilgan va nuqtada uzluksiz bo`lsin. U holda

ya`ni
(2)
bo`ladi.
◄ da bo`ladigan ixtiyoriy ketma- ketlikni olaylik. Unda (1) munosabatga ko`ra
da
bo`ladi. SHartga ko`ra funksiya nuqtada uzluksiz. Demak,
da
bo`ladi. Keyingi munosabatdan (2) tengliknig o`rinli bo`lishi kelib chiqadi. ►