1. Основы теории дифференциальных уравнений в частных производных

1.2 Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных

Рассмотрим некоторые физические задачи, решения которых приводят к уравнениям в частных производных.

Задача 1 (о поперечных колебаниях струны).
Пусть струна длиной l натянута с силой Т₀ и находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени t=0 точкам струны сообщаются некоторые отклонения и скорости [12, c.145].
Поставим задачу об определении малых поперечных колебаний точек струны при t>0, если концы струны:
а) жестко закреплены,
б) свободны,
в) двигаются в поперечном направлении по заданным законам.
Сопротивлением среды и силой тяжести пренебрегаем.
Решение. Пусть ось ох совпадает с первоначальным положением струны в положении равновесия

Выделим участок струны от А до В и спроектируем все действующие на этот участок силы на ось u. Согласно принципу Даламбера сумма проекций должна равняться нулю.

так как мы рассматриваем малые колебания и – малой величиной пренебрегаем.

Это значит, что удлинение участка струны не происходит и, следовательно, по закону Гука величина натяжения не зависит ни от времени, ни от х.
Проекция силы натяжения

Пусть – непрерывная линейная плотность внешних сил. Тогда на АВ действует вдоль оси u сила

Для нахождения силы инерции воспользуемся выражением где Тогда

Это и есть уравнение вынужденных колебаний струны.

Если ρ=const и то


(2)

Кроме того, искомая функция u(х, у) должна удовлетворять начальным условиям:

– начальное положение струны
– начальный импульс.
Краевые условия:
а) струна закреплена на концах


,

б) в случае свободных концов должно быть

в) – законы движения концов струны.

Задача 2. Уравнение неразрывности. Задача обтекания.
Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа), т.е. жидкости в которой отсутствуют силы вязкости [18, c.196].
Пусть – вектор скорости движения жидкости, –ее плотность, – интенсивность источников. Выделим в жидкости некоторый объем ω, ограниченный поверхностью S. Изменение массы жидкости внутри ω в единицу времени равно

с другой стороны это изменение должно равняться приращению количества Q₁ жидкости за счет источников

минус количество Q₂, вытекающей через S

– формула Остроградского-Гаусса,

где – внешняя нормаль к S, таким образом

В силу произвольности ω

(3)
Это и есть уравнение неразрывности движения идеальной жидкости.
Рассмотрим теперь задачу обтекания твердого тела Ω с границей S потенциальным потоком несжимаемой однородной жидкости, имеющей заданную скорость на бесконечности при отсутствии источников. В этом случае и Поэтому: при условии
Пусть u –потенциал скоростей, т.е. тогда


и

,
поэтому
(4)

Задача 3. О распространении тепла

Вывод уравнения теплопроводности базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла, проходящего за время ∆t через малую площадку ∆S, лежащую внутри рассматриваемого тела, определяется формулой

где – нормаль к ∆S, направленная в сторону передачи тепла, k(x, u) – коэффициент внутренней теплопроводности, u(x, t) – температура тела в точке в момент времени t. Предполагается, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т.е. k(x, u) не зависит от направления площадки [18, c.165].

Выделим внутри тела объем ω, ограниченный S. Согласно закону Фурье, количество тепла, втекающее через S за промежуток [t₁, t₂], равно

Если – плотность тепловых источников, то количество тепла, образованного за их счет в ω за указанный промежуток времени, равно

Общее количество тепла притекающего в ω за время от t₁ до t₂ можно посчитать и за счет приращения температуры

где и – теплоемкость и плотность вещества. Тогда

В силу произвольности ω и промежутка времени t₁, t₂, следует равенство

Заключение

В рамках данной работы проведено изучение основных положений теории дифференциальных уравнений в частных производных, показана возможность применения вероятностных методов для их решения. В качестве примера была выбрана задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.

Во многих областях физики, математики и других естественных наук часто используются численные и эмпирические методы для решения прямых и обратных задач. Следует отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении таких задач, поскольку не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато часто удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение, являясь мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники: они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто законы, которым подчиняются те или иные процессы, записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения, таким образом, являются средством для количественного выражения этих законов.
Литература

1. 
   Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1964.
   
2. 
   Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – М.: Изд-во Государственной литературы, 1959. – 602 с.
   
3. 
   Бицадзе А.В. Уравнения математической физики: Учеб. М.: Наука, 1982. 336 с.
   
4. 
   Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики: Учеб. пособие. М.: Наука, 1977. 222 с.
   
5. 
   Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике: Учеб. пособие. М.: Наука, 1980. 686 с.
   
6. 
   Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) и его реализация в цифровых машинах. – М.: Физматгиз, 1961. – 315 с.
   
7. 
   Владимиров В.С., Уравнения математической физики, М., 1967. – 256с.
   
8. 
   Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. - С-Пб: Питер, 2004. – 145с.
   
9. 
   Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э. Численные методы анализа. – М.:Наука, 1967. – 368 с.
   
10. 
    Канторович Л.В. и Крылов В.И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. — М., 1962. – 256с.
    
11. 
    Карслоу Г.С., Теория теплопроводности, пер. с англ., М.: Приор, 2002.
    
12. 
    Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных: Учеб.пособие. М.: Наука, 1983. 424 с.
    
13. 
    Петровский И.Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1999. – 213с.