1. Предикатлар мантики формуласининг нормал шакли

1-мисол.  формулани нормал шаклга келтириш талаб этилсин.  формулада тенгкучли алмаштиришларни утказиб, уни нормал шаклга келтирамиз:

.
11.2 Бажарилувчи ва умумкийматли формулалар
2-таъриф. Агар  формула ифодасига кирувчи ва  сохага оид узгарувчиларнинг шундай кийматлари мавжуд булиб, бу кийматларда  формула чин киймат кабул килса, у холда предикатлар мантикининг  формуласи  сохада бажарилувчи формула деб айтилади.
3-таъриф. Агар шундай соха мавжуд булиб, унда  формула бажариладиган булса, у вактда  бажарилувчи формула деб айтилади.
Демак, агар бирор формула бажарилувчи булса, бу хали унинг исталган сохада бажарилувчанлигини билдирмайди.
4-таъриф. Агар  нинг ифодасига кирувчи ва  сохага оид хамма узгарувчиларнинг кийматларида  формула чин киймат кабул килса, у холда  формула  сохада айнан чин формула деб айтилади.
5-таъриф. Агар  формула хар кандай сохада айнан чин булса, у холда  га умумкийматли формула деб айтилади.
6-таъриф. Агар  ифодасига кирувчи ва  сохага оид хамма узгарувчиларнинг кийматларида  формула ёлгон киймат кабул килса, у холда  формула  сохада айнан ёлгон формула деб айтилади.
Келтирилган таърифлардан ушбу тасдиклар келиб чикади:
1. Агар  умумкийматли формула булса, у холда у хар кандай сохада хам бажарилувчи формула булади.
2. Агар    сохада айнан чин формула булса, у холда у шу сохада бажарилувчи формула булади.
3. Агар  сохада  айнан ёлгон формула булса, у холда у бу сохада бажарилмайдиган формула булади.
4. Агар  бажарилмайдиган формула булса, у холда у хар кандай сохада хам айнан ёлгон формула булади.
Демак, предикатлар мантики формулаларини икки синфга ажратиш мумкин: бажарилувчи синфлар ва бажарилмас (бажарилмайдиган) синфлар формулалари.
7-таъриф. Умумкийматли формулага мантик конуни деб айтилади.
Энди бир нечта мисоллар келтирайлик:
1-мисол:  формула бажарилувчидир. Хакикатан хам, агар : « » предикат  сохада аникланган  булса, у холда    сохада айнан чин формула булади, демак, бу сохада бажарилувчи формуладир. Аммо, агар  учун « » предикат чекли  сохада, аникланган булса, у холда    сохада айнан ёлгон формула булади ва, демак,  сохада бажарилувчимасдир. Равшанки,  умумкийматли формула булмайди.
2-мисол.  формула бажарилувчидир. Хакикатан хам, агар : « - жуфт сон» предикат  учун  сохада, аникланган булса, у холда бу формула  сохада айнан чин булади, демак,  сохада бажарилувчи формуладир.
Аммо, агар : « - жуфт сон» предикат  учун  сохада аникланган булса, у холда    сохада айнан ёлгон формула булади, демак, бу сохада бажарилмас формуладир.
3-мисол.  формула исталган ихтиёрий  сохада айнан чин булади. Демак, у умумкийматли формула, яъни мантикий конундир.
4-мисол.  формула исталган ихтиёрий сохада айнан ёлгон ва шунинг учун хам у бажарилмас формула булади.
Энди предикатлар мантикидаги формулаларнинг умумкийматлиги ва бажарилувчанлиги орасидаги муносабатни куриб утайлик.
2-теорема.  умумкийматли формула булиши учун унинг инкори  бажарилувчи формула булмаслиги етарли ва зарурдир.
Исбот. Зарурлиги.  умумкийматли формула булсин. У холда, равшанки,  - исталган сохада айнан ёлгон формула булади ва шунинг учун хам у бажарилмас формуладир.
Етарлилиги.  исталган сохада бажарилувчи формула булмасин. У холда бажарилмас формуланинг таърифига асосан  исталган сохада айнан ёлгон формуладир. Демак,  исталган сохада айнан чин формула булади ва у умумкийматлидир.
3-теорема.  бажарилувчи формула булиши учун  нинг умумкийматли формула булмаслиги етарли ва зарурдир.
Исбот. Зарурлиги.  бажарилувчи формула булсин. У вактда шундай  соха ва  формула таркибига кирувчи узгарувчиларнинг шундай кийматлар мажмуи (сатри) мавжудки,  формула бу кийматлар сатрида чин киймат кабул килади. Аникки, узгарувчиларнинг бу кийматлар сатрида  формула ёлгон киймат кабул килади ва, демак,  умумкийматли формула булаолмайди.
Етарлилиги.  умумкийматли формула булмасин. У вактда шундай  соха ва  формула таркибига кирувчи узгарувчиларнинг шундай кийматлар сатри мавжудки,  формула бу кийматлар сатрида ёлгон киймат кабул килади. Бу кийматлар сатрида  формула чин киймат кабул килганлиги учун у бажарилувчи формула булади.
5-мисол.  форму-ланинг умумкийматлигини исботланг.
Ечим.  формула исталган  сохада аникланган деб хисоблаб, тенгкучли алмаштиришларни утказамиз:



,
яъни  формула исталган сохада хар кандай  ва  бир жойли предикатлар учун айнан чин, демак, у умумкийматли формуладир.
6-мисол. нинг айнан ёлгон формула эканлигини курсатинг.
Ечим.  га  эгамиз.  айнан ёлгон формула эканлигидан,  хам айнан ёлгон формула булади.