1. Ratsional funksiyalar. Eng sodda ratsional funksiyalar va ularni integrallash. Ratsional funksiyalarni integrallash

P₃(x)= x³–x²–8x+12 =(x–2) ²(x+3) (12)
tenglik o‘rinli.
3-TEOREMA: Agar x=a soni (9) tenglamaning, ya’ni R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasr maxrajining s karrali ildizi bo‘lsa, unda R(x) kasrning (6) yoyilmasida

ko‘rinishdagi bitta I tur va s–1 ta II tur eng sodda ratsional kasrlardan iborat qo‘shiluvchilar qatnashadi.
Masalan, (12) tenglikdan

ratsional kasrning maxraji uchun x=2 ikki karrali va x=–3 oddiy ildiz ekanligi kelib chiqadi va bunda

yoyilma o‘rinli bo‘lishini tekshirib ko‘rish mumkin.
Agar biror x₁=a+bi kompleks son (9) algebraik tenglamaning ildizi bo‘lsa, unda x₂=a–bi qo‘shma kompleks son ham bu tenglamaning ildizi bo‘lishini isbotlash mumkin. Demak, P_n(x)=0 tenglama kompleks ildizlarga ega bo‘lsa, bu ildizlar albatta qo‘shma kompleks sonlar juftliklaridan iborat bo‘ladi.
Agar x_1,2=a±bi qo‘shma kompleks sonlar P_n(x)=0 tenglamaning oddiy ildizi bo‘lsa, unda
P_n(x)=(x–x₁)(x–x₂)L_n–2(x)=(x²+px+q)L_n–2(x) [L_n–2(x_1,2)≠0, p=–2a, q=a²+b²]
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Masalan,
P₄(x)=2x⁴–17x³+77x²–107x–75
ko‘phad uchun x_1,2=3±4i oddiy kompleks ildiz bo‘ladi. Bu holda
(x–x₁)(x–x₂)= x²–6x+25 => P₄(x)=(x²–6x+25)(2x²–5x–3) (13)
ekanligini ko‘rsatish mumkin.