1. Ratsional funksiyalar. Eng sodda ratsional funksiyalar va ularni integrallash. Ratsional funksiyalarni integrallash

4-TEOREMA: Agar R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasrning maxraji x_1,2=a±bi qo‘shma kompleks sonlar juftligidan iborat oddiy ildizga ega bo‘lsa, unda R(x) kasrning (4) yoyilmasida bitta

ko‘rinishdagi III tur eng sodda ratsional kasr qatnashadi.
Masalan, (13) tenglikka asosan,


ko‘rinishdagi yoyilma o‘rinli bo‘ladi.
5-TEOREMA: Agar R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasrning maxraji uchun x_1,2=a±bi qo‘shma kompleks sonlar s karrali ildizi bo‘lsa, unda
P_n(x)=(x²+px+q)^sL_n–2s(x) [L_n–2s(x_1,2)≠0, p=–2a, q=a²–b²]
tenglik o‘rinli bo‘ladi va R(x) ratsional kasrning chiziqli yoyilmasida

ko‘rinishdagi bitta III tur va s–1 ta IV tur eng sodda ratsional kasrlar qatnashadi.
Masalan, P₄(x)=(x²+9)³(x–5)=0 tenglama uchun x=±3i uch karrali kompleks ildiz, x=5 esa oddiy haqiqiy ildiz bo‘lgani uchun ushbu ratsional kasr quyidagi ko‘rinishdagi yoyilmaga ega bo‘ladi:
.
Demak, yuqoridagi 2–5- teoremalardan

to‘g‘ri ratsional kasrning (6) yoyilmasidagi eng sodda ratsional kasrlarning turlari va sonlari aniqlanadi. Ammo (6) yoyilmani to‘liq aniqlash uchun unga kiruvchi eng sodda ratsional kasrlarning suratlaridagi A_k , B_k koeffitsiyentlarni ham aniqlash kerak bo‘ladi. Bu masala noma’lum koeffitsiyentlar usuli deb ataluvchi usulda hal qilinishi mumkin.