1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi

2.7. Kompakt to'plamlar

1. 
   
   ⊂
   Ushbu paragrafda biz ketma-ketliklarni emas, balki ixtiyoriy E R to'plamlarni o'rganamiz.
   

∈ ⊂
Ta'rif. Agar a R nuqtaning istalgan ε-atrofida E R to'plamning cheksiz ko'p nuqtasi bo'lsa, a nuqtani E to'plamning limit nuqtasi deymiz.

{ }
2.7.1 - Tasdiq. a ∈ R nuqta E ⊂ R to'plamning limit nuqtasi bo'lishi uchun quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi x_n ketma-ketlikning mavjud bo'lishi zarur
va etarli:

1. 
   x_n ∈ E;
   
2. 
   x_n /= a;
   
3. 
   n → ∞ da x_n → a.
   

Isbot xuddi 2.4.1 va 2.4.2 - Tasdiqlar isbotiga o'xshash olib boriladi.

1. 
   Zarurligi. Berilgan a nuqta E to'plamning limit nuqtasi bo'lsin. Bundan chiqdi, istalgan ε > 0 olganda ham shunday x ∈ E nuqta topiladiki, u uchun
   

0 < |x − a| < ε (2.7.1)
munosabat o'rinli bo'ladi.
(2.7.1) dagi tengsizliklarning o'ng tarafdagisi x nuqta a nuqtaning ε-atrofida yotishini, chap tarafidagisi esa, x nuqta a nuqtadan farqli ekanini anglatadi. Endi

1 1 1 1

ε ga ketma-ket 1, ₂ ,
₃ , ...,
, .. qiymatlarni beraylik. Tanlangan har bir ε =

n n

uchun, (2.7.1) ga ko'ra, shunday x_n ∈ E nuqta topiladiki, u

shartni qanoatlantiradi.
0 < |x_n
1
— a| < _n

(2.7.2)

Ravshanki, bunday tanlangan {x_n} ketma-ketlik uhun (i)-(iii) shartlar bajariladi.

2. 
   
   { }
   Yetarliligi. Endi (i)-(iii) shartlarni qanoatlantiruvchi x_n ketma-ketlik mavjud
   

{ }
bo'lsin. U holda a nuqta E to'plamning limit nuqtasi ekanini ko'rsatamiz. Istalgan ε > 0 ni tayinlaymiz. (i) - shartga ko'ra, biror nomerdan boshlab, x_n ketma- ketlikning barcha elementlari a nuqtaning ε-atrofida yotadi, ya'ni a nuqtaning istalgan ε-atrofida E to'plamning cheksiz ko'p elementlari yotadi. Bu esa, a nuqta E to'plamning limit nuqtasi ekanini anglatadi.