1. Sonli qatorning asosiy tushunchalari. Qator yaqinlashishining zaruriy shartlari. Yaqinlashuvchi qatorlar va ularning xossalari. Garmonik qatorlar. Musbat hadli qatorlarni taqqoslash teoremalari. Reja

3‑teorema.
a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ (1)
darajali qator butunlay yaqinlashish oralig’i ichida yotuvchi istalgan [‑p; p] kesmada kuchaytirilgandir.
Та’rif.Аgar hadlari musbat bo’lgan shunday
₁+₂+...+_n+... (1)
sonli yaqinlashuvchi qator mavjud bo’lib, х ning berilgan sohadan barcha qiymatlari uchun:
(2)
munosabat bajarilsa
u₁(x)+u₂(x)+...+u_n(x)+... (3)
funktsional qator х ning biror o’zgarish sohasida kuchaytirilgan qator deb ataladi.
Маsalan. qator butunОх o’qda kuchaytirilgan qatordir, chunki bunda n=1,2,3,... . Ма’lumki yaqinlashuvchi qatordir.
Та’rifdan ko’rinib turibdiki biror sohada kuchaytirilgan qator shu sohaning barcha nuqtalarida absolyut yaqinlashuvchidir.
Quyidagi teorema kuchaytirilgan qatorlarning xossasidir.
Теоrema.Аgar funktsional qator [a,b] kesmada kuchaytirilgan qator bo’lsa, u vaqtda har qancha kichik  son uchun shunday N musbat son topiladiki, barcha n N dа [a,b] kesmada olingan har qanday х uchun S(x)-S_n(x)< tengsizlik bajariladi, bunda S(x) qator yig’indisi, S_n(x) esa qatorning dastlabki n tа hadi yig’indisi.
Hadlari uzluksiz bo’lgan ba’zi qatorlarning yig’indisi uzlukdiz boshqalarniki esa uzlukli bo’ladi. Quyidagi teoremani yozish mumkin.
Теоrema. Biror [a,b] kesmada kuchaytirilgan bo’lgan uzluksiz funktsiyalar qatorining yig’indisi shu kesmada uzluksiz funktsiyadir.
Darajali qatorlar. Abel teoremasi. Yaqinlashish radiusi.Yaqinlashuvchi darajali qatorlarning xossalari. Qatorlarni differensiallash va integrallash
Ta’rif. Quyidagi funksional qatorga darajali qator deyiladi:
, (1)
bu yerda - haqiqiy o’zgarmas sonlar. Bu sonlarni darajali qatorning koeffitsientlari deyiladi.
Darajali qator funksional qatorning xususiy holidir.
1. Har qanday darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi va shu nuqtada uning yig’indisi ga teng bo’ladi.
2. Faqat nuqtada yaqinlashuvchi bo’lgan qatorlar mavjuddir. Masalan
. (2)
Haqiqatan ixtiyoriy son bo’lsin. Bu holda da ning biror qiymatidan boshlab miqdor tengsizlikni qanoatlantiradi. Demak, qatorning umumiy hadi tengsizlikni qanoatlantiradi.
da miqdor cheksiz kattalashgani uchun ham cheksiz kattalashadi. Bu holda
(3)
qator ixtiyoriy nuqtada uzoqlashuvchi bo’ladi.
3. oraliqning barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi bo’lgan qatorlar ham mavjuddir.
Misol sifatida quyidagi qatorni ko’ramiz:
(4)
sonlar o’qining ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin . orta borgani uchun shunday soni topiladiki barcha lar uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu holda (4) qatorni yaqinlashuvchi bo’lgan
(5)
qator bilan solishtirib (4) qatorni ixtiyoriy nuqtada absolyut yaqinlashuvchiligiga ishonch hosil qilish mumkin.

4. 
   ning biror qiymatlarida yaqinlashuvchi va boshqa qiymatlarida uzoqlashuvchi bo’lgan darajali qatorlar ham mavjud. Masalan, ushbu qator berilgan bo’lsin
   

(6)
Bu qator bo’lganda bo’ladi. Bunda berilgan qatorning mahraji bo’lgan geometrik progressiyadir.
Demak, qator absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi, chunki geometrik progressiyaning mahraji tengsizlikni qanoatlantiradi.
bo’lganda berilgan qator uzoqlashuvchi bo’ladi, chunki geometrik progressiyaning mahraji tengsizlikni qanoatlantiradi.
Shunday qilib, (6) qator bo’lganda yaqinlashuvchi va da esa uzoqlashuvchi ekan. Demak, (6) qatorning yaqinlashish sohasi oraliqdan iborat ekan.
Ixtiyoriy darajali qatorning yaqinlashish sohasini aniqlaydigan teoremani keltiramiz.
Abel teoremasi. 1) Agar (1) darajali qator biror nuqtada yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda tengsizlikni qanoatlantaruvchi ning barcha qiymatlarida (1) qator absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
2) Agar (1) qator nuqtada uzoqlashuvchi bo’lsa, bu holda tengsizlikni qanoatlantiruvchi ning barcha qiymatlarida (1) qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot. 1) Faraz qilaylik nuqtada (1) qator yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda
(7)
sonli qator yaqinlashuvchi bo’ladi. Demak, bu qatorning umumiy hadi da nolga intiladi, ya’ni
.
Bundan miqdorni chegaralanganligi kelib chiqadi, ya’ni shunday soni topiladiki, ixtiyoriy uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Berilgan (1) qatorni ushbu ko’rinishda yozamiz
.
Bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qatorni ko’raylik
.
desak, bo’lganda (1) qatorning umumiy hadi ushbu tengsizlikni qanoatlantiradi:

Lekin

qatorning mahraji bo’lganda yaqinlashuvchi geometrik progressiyadir. (1) qator bilan bu progressiyani solishtirsak, (1) qatorni ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida absolyut yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi, bu yerda .
2) Endi teoremaning ikkinchi qismini isbot qilamiz.
Faraz qilaylik, berilgan qator nuqtada uzoqlashuvchi bo’lsin. U holda bu qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalarda uzoqlashadi.
Haqiqatda, bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror nuqtada qator yaqinlashsa, u holda teoremaning isbot qilingan birinchi qismiga asosan tengsizlik o’rinli bo’lgani uchun, qator nuqtada yaqinlashuvchi bo’lishi kerak edi. Lekin bu nuqtada qator uzoqlashadi degan shartga qarama-qarshi bo’ladi. Demak, qator nuqtada uzoqlashadi.
Teorema isbot bo’ldi.
Abel teoremasidan kelib chiqadigan ayrim natijalarni ta’riflaymiz.
1-natija. Agar qator yaqinlashish nuqtasi bo’lsa, u holda oraliqning barcha nuqtalarida qator yaqinlashuvchi bo’ladi.
2-natija. Har bir darajali qator uchun quyidagi xossalarga ega bo’lgan aniq soni mavjud bo’ladi:
a) (1) qator ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi;
b) ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida (1) qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Bu soniga darajali qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi. Xususiy holda, (1) qator nuqtada yaqinlashuvchi bo’lsa, yaqinlashish radiusi bo’ladi.
Agar qator ning har qanday qiymatida yaqinlashuvchi bo’lsa, yaqinlashish radiusini deb olish qabul qilingan.
3-natija. (1) darajali qatorning yaqinlashish sohasi oraliqdan iborat, bu yerda - yaqinlashish radiusi. Demak, darajali qatorning yaqinlashish sohasi koordinata boshiga nisbatan simmetrik ekan. Oraliqning har bir chetki va nuqtalarida qator yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin. Shuning uchun qatorni bu nuqtalardagi yaqinlashishini alohida tekshirish kerak bo’ladi.
Darajali qatorning yaqinlashish sohasini topish uchun Dalamber yoki Koshi alomatlaridan foydalaniladi.
Qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qatorni yozamiz
.
Bu qatorning hadini hadiga bo’lgan nisbatini ko’raylik
.
Bu yerda .
Dalamber alomatidan ma’lumki, agar bo’lsa, qator absolyut yaqinlashuvchi va bo’lsa uzoqlashuvchi bo’ladi.
Bundan (1) qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi ning barcha qiymatlarida yaqinlashuvchi va da esa uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi. Natijada
.
Demak, qatorning yaqinlashish radiusini quyidagi Dalamber alomati bo’yicha hisoblash mumkin:
.
Koshi alomatidan foydalanib qatorning yaqinlashish radiusini quyidagi formula yordamida ham hisoblash mumkin:
.
1-misol. qatorni yaqinlashish radiusi va yaqinlashish sohasini toping.
Yechish. , .

Demak, . Dalamber alomatiga asosan bo’lganda qator yaqinlashuvchi va da uzoqlashuvchi bo’ladi. Yaqinlashish radiusi , yaqinlashish sohasi oraliqdan iborat. Endi oraliqning chetki va nuqtalardagi yaqinlashishni tekshiramiz.
da quyidagi qator hosil bo’ladi:
.
Bu garmonik qatordir, demak, berilgan qator nuqtada uzoqlashuvchi.
da

qator hosil bo’ladi. Bu qator Leybnis teoremasiga asosan shartli yaqinlashuvchi bo’ladi. Demak, berilgan qatorning yaqinlashish sohasi oraliqdan iborat.
2-misol. qatorning yaqinlashish radiusini toping.
Yechish. .
Demak, berilgan qator ning barcha qiymatlarida yaqinlashuvchi bo’ladi.

2. Darajali qatorlarning xossalari

1-teorema. Har qanday

, (1)
darajali qator oraliqqa tegishli kesmada tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot. Shart bo’yicha . Shuning uchun

musbat hadli qator yaqinlashuvchi bo’ladi. Bunda

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak, Veyershtrass alomatiga asosan (1) darajali qator kesmada tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Qolgan xossalarni isbotsiz keltiramiz.
2-teorema. Agar (1) darajali qator oraliqda yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda uning yig’indisi shu oraliq ichida uzluksiz bo’ladi.
3-teorema. oraliqda yaqinlashuvchi bo’lgan darajali qatorni shu oraliqda hadma-had ixtiyoriy tartibli hosilasini olish mumkin, ya’ni

qatorning , , . . . , hosilalari mavjuddir. Bu yerda
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Qator hadlarining hosilalaridan tuzilgan qatorning yaqinlashish sohasi oraliqdan iborat bo’ladi.
4-teorema. oraliqda yaqinlashuvchi bo’lgan darajali qatorni shu oraliqda yotgan ixtiyoriy kesmada hadma-had integrallash mumkin.
bo’lsin. U holda

.
Qatorni hadma-had integrallashdan hosil bo’lgan qatorning yaqinlashish sohasi ham oraliqdan iborat bo’ladi.