1. taqribiy hisob absolyut va nisbiy xato sonlarni yaxlitlash usullari

1.TAQRIBIY HISOB ABSOLYUT VA NISBIY XATO SONLARNI YAXLITLASH USULLARI


Taqribiy hisoblashlar - mat. ning amaliyot uchun muhim boʻlimi. Differensial tenglamalar, matematik analiz, algebra, optimal boshqaruv kabi sohalarda masalalarni yechish usullarini ishlab chiqadi. Asosiy masalalari: 1) biror analitik ifoda bilan berilgan funksiyaning xususiy qiymatlarini argumentlarining berilgan qiymatlariga qarab hisoblash; 2) koeffitsiyentlari sonlardan iborat boʻlgan algebraik va transsendent tenglamalar va shunday tenglamalar sistemasini yechishning Taqribiy hisoblashlari; 3) funksiyalarni differensiallash va integrallashning taqribiy hisoblari. Taqribiy hisoblashlar yordamida olingan natija anikligiga, asosan, yaxlitlash xatosi va qoʻllanilgan usul xatosi taʼsir etadi. Bu xatoliklarning hisoblash jarayonidagi taʼsirini kuzatib borish uchun absolyut xato vanisbiy xato tushunchalari kiritilgan. Biror miqdorning aniq qiymati A bilan uning taqribiy qiymati a orasidagi Aa qgʻ A — agʻ farqning absolyut qiymati a sonining absolyut xatosi, Za q tqu nisbat esa a sonining ni s b i y xatosi deyiladi. Koʻpincha, nisbiy xato foizlarda ifodalanadi. Taqribiy hisoblashlarda turli matematik jadvallar va zamonaviy hisoblash texnikalari muhim vositadir.
Hozirgi kunda murakkab matematik masalalarni echishdagi asosiy vosita sonli metodlar bo’lib hisoblanadi , u masala echimini chekli sondagi amallar bajarish orqali topishga imkon beradi , bunda natija sonli qiymatlar ko’rinishda olinadi. Hisoblash jarayonida xatoliklar bo’lishi tabiiy , ular to’g’risida to’xtalamiz.
Taqribiy sonlar. Kompyuter qo’zg’almas va siljuvchi vergulli sonlar bilan ish ko’radi. Qo’zg’almas vergulli o’nlik son – bu odatdagi bizga ma’lum formada sonlarni yozishdan iborat:
5,-10,175.12,0.0093 va hokazo, bunda o’nlik vergul o’rniga nuqta qo’yiladi. Kompyuterlarning ko’pgina modellarida butun sonlar ikkilangan aniqlik bilan tasvurlanadi, bu sonlar ko’lami taxminan -2*10⁹ dan 2*10⁹ gacha intervalda bo’ladi. Ilmiy – texnikaviy masalalarni echishda asosan xaqiqiy sonlar ishlatiladi. Ularni ifodalash uchun barcha kompyuterlarda siljuvchi vergulli sonlardan foydalaniladi. Haqiqiy D sonini bu formada
D=±m*10⁹
ko’rinishida yozish mumkin, bunda m va n mos ravishda sonning mantissasi va uning tartibidan iborat. Masalan, haqiqiy -273.9 sonini -2739*10^-1, -2.739*10^-2 , -0.2739*10^-3ko’rinishlarda yozish mumkin. Bulardan oxirgisi siljuvchi vergulli sonning normallashtirgan formasidir.Shunday qilib, agar sonning mantissasini m=0. d₁,d₂,d₃,...,d_n ko’rinishida ifodalasak bunda d₁<>0 bo’lsa, siljuvchi vergulli sonning normallashtirilgan formasini hosil qilamiz . 
Absolyut va nisbiy xatoliklar. Xatoliklarning ikkita turi mavjud – absolyut va nisbiy xatoliklar Absolyut xato – bu biror –bir sonning aniq qiymati va uning hisoblash yoki o’lchash natijasida olingan taqribiy qiymati orasidagi farqning modulidan iborat.
Nisbiy xato – bu absolyut xatoning sonning taqribiy qiymatiga nisbatidan iborat. Shunday qilib, agar a miqdor x sonining taqribiy qiymati bo’lsa u holda absolyut va nisbiy xatoliklar mos ravishda quyidagicha yoziladi:
Odatda, x miqdorning aniq qiymati noma’lum bo’ladi . Shu sababli, xatoning yuqorida keltirilgan ifodasidan amaliyotida foydalanib bo’lmaydi. Bizda faqat taqribiy qiymat a mavjud va uning yo’l qo’yilishi mumkin bo’lgan xatosi ni aniqlash zarur , u absolyut xato modulining yuqori chegarasi bo’ladi ya’ni  .Amaliyotda ning qiymati a taqribiy sonning absolyut xatosi sifatida qabul qilindi.Bu holda x miqdorning aniq qiymati (a- ,a+) intervalda bo’ladi.
Taqribiy son uchun , uni yaxlitlash natijasida olinadigan absolyut xato sonning oxirgi razryadidagi birning yarmiga teng deb qabul qilinadi. Masalan , a=0.734 qiymat quyidagi sonlarni yaxlitlash natijasida olinadi. 0.73441 , 0.73353 va boshqalar. Bunda va=0.0005 deb hisoblaymiz. Bu taqribiy miqdorning absolyut xatosini baholashga doir misollar keltiramiz:

A	51.7	-0.0031	16	16.00
	0.05	0.00005	0.5	0.005

Nisbiy xatoning chegaraviy qiymati – bu absolyut xato chegaraviy qiymatining taqribiy son absolyut miqdoriga nisbatidan iborat:
Misol:
Qayd etish lozimki , yaxlitlash xatosi hamma vaqt o’sib boorish tartibida bo’ladi. Hozirgi holda
Hisoblash jarayonidagi xatoliklar. Amaliy masalalarni kompyuterda echish jarayoning ba’zi bosqichlarida, hisoblash natijalariga jiddiy ta’sir qiluvchi xatolar paydo bo’lishi mumkin. 
Masalaning berilganlari xatoning asosiy manbai bo’lib hisoblanadi. Bunday xatolar yuqotilmas xatolar deyiladi, ularni hisoblovchi tomonidan na masala yechilguncha, na masalani hisoblash jarayonida kamaytirila olinmaydi. Hisoblash metodi ham xato manbai bo’lib hisoblanadi . Bunday xatolar, masalan integralni yig’indi bilan almashtirilganda, jadvalda berilgan qiymatlarni interpolasiyalashda, ekstropolasiyalashda va xakozalarda paydo bo’ladi .
Hisoblash metodi xatosini boshqarish mumkin, ya’ni uning parametrlarini (masalan, integrallash qadamini, chekli qator hadlari sonini) o’zgartirish orqali etarlicha kichik qilib olish mumkin. Kompyuterda hisoblashda kompyuter razryad to’rining cheklanganligi bilan bog’liq yaxlitlash xatolari paydo bo’ladi.
Beshta to’rt xonali sonning yig’indisini hisoblash talab qilinhan bo’lsin:
S=0.2764+0.3944+1.475+26.46+1364
bu sonlarni qo’shib , olingan natijani to’rtta qiymatli raqmgacha yaxlitlasak S=1393 qiymatini hosil qilamiz . Ammo , kompyuterda har bir qo’shishda yaxlitlash sodir bo’ladi. Kompyuter razryad mo’rini to’rt razryadli deb hisoblasak , kompyuterda hisoblashni eng kichigidan kattasi tomonga amalga oshirilishini ularning yozilishi tartibida bajaramiz:
0.2764+0.3944=0.6708,
0.6708+1.479=2.156
2.156+26.46=28.62
bunda S₁ =1393 bo’ladi , yani to’g’ri natija. Endi hisoblash tartibini o’zgartiramiz va sonlarni teskari tartibda ya’ni oxiridan boshiga tomon ketma-ket qo’shib boramiz.
1364+26.46=1390,
Turg’unlik , korrektlik , yaqinlashish. Masalaning berilganlaridagi xato ya’ni yuqotilmas xatoni qaraylik . Faraz qilaylik x ning berilgan dastlabki qiymatiga ko’ra , y miqdorning izlanayotgan qiymati topilayotgan bo’lsin . Agar dastlabki qiymat absolyut xatoga ega bo’lsa, u holda echim xatoga ega bo’ladi.
Masala dastlabki parameter x bo’yicha turg’un deyiladi ,agar y echim x parametrdan uzlluksiz bog’liq bo’lsa , ya’ni astlabki miqdor ning kichik orttirmasi, izlanayotgan miqdor ning kichik orttirmasiga olib kelsa. Boshqacha qilib aytganda miqdordagi kichik chetlanishlar, hisoblash natijalaridagi kichik chetlanishlarga olib kelsa.Turg’un bo’lmagan masalaning eng qiziqarli namoyishi Uilkinson misoli bo’lib hisoblanadi Quydagi ko’phad qaraladi

1390+1.475=1391,

1391+0.3964=1391,
1391+0.2764=1391.
bunda oxirgi natija S₂=1391 ga teng , bu unchalik aniq emas. Ushbu xato yaxlitlash xatosi deyiladi.
P(x)=(x-1)(x-2)………(x-20)=x²⁰-210.x¹⁹+… .
Ma’lumki , bu ko’phadning ildizlari x₁=1,x₂=2,...,x₂₀=20 bo’lib hisoblanadi.
Faraz qilamiz , ko’phadning birorta koeffitsienti kichik xato bilan hisoblangan bo’lsin. Masalan x₁₉ oldidagi koeffitsient –210 ni 2^-23 ga oshiraylik (bu 10^-7 atrofida) .Hisoblashlarni 11 ta qiymatli raqamlargacha aniqlik bilan hisoblaganda ham ildizlar uchun batamom boshqa qiymatlarni hosil qilamiz. Ko’rinarli bo’linishi uchun bu qiymatlarni uch raqamgacha yaxlitlangan holda keltiramiz
x₁=1.00, x_10,11 =10.1±0.644i
x₂=2.00, x_12,13 =11.8±1.65i
x₃=3.00, x_14,15 =14.0±2.52i
x₄=4.00, x_16,17 =16.7±2.81i
x₅=5.00, x_18,19 =19.5±1.94i
x₆=6.00, x₂₀ =20.8
x₇=7.00 x₈=8.00 x₉=9.00
Shunday qilib, x₁₉ oldidagi koeffisient -210 ni -210+10,^-7 ga o’zgartirish shunga olib keldiki, ildizlarning yarmi kompleks sonlardan iborat bo’lib qoldi. Bu hodisaning asosiy sababi masalaning o’zining turg’un emasligidir, chunki masaja juda aniq bajariladi (11 raqamgacha ), yaxlitlash xatolari bunday oqibatga olib kelishi mumkin emas. x₁,x₂,...,x_n ketma-ketlik (iteratsiya) berilgan bo’lsin . Bu ketma-ketlik iteratsiyalar soni cheksiz ortganda ( aniq ) yechim x=a ga intiladi deyiladi ,agarda bu ketma-ketlikning dagi limiti mavjud va u a qiymatga teng bo’lsa , yani