1. taqribiy hisob absolyut va nisbiy xato sonlarni yaxlitlash usullari

2. PLONAMETRIYA AKSIOMALARINI TAKRORLASH SODDA GEOMETRIK FIGURALAR TARIFLARI XOSSALARI VA ALOMATLARINI O'RGANISH
Aksiomatik usul qadimgi Yunonistonda paydo bo'lgan va hozirda barcha nazariy fanlarda, birinchi navbatda matematikada qo'llaniladi.
Ilmiy nazariyani qurishning aksiomatik usuli quyidagilardan iborat : asosiy tushunchalar ajratilgan, nazariya aksiomlari shakllantirilgan va qolgan barcha iboralar mantiqiy asosda chiqarib tashlangan va ularga asoslanadi.
Asosiy tushunchalar quyidagicha ajratiladi. Ma'lumki, bitta tushunchani boshqalarning yordami bilan tushuntirish kerak, ular o'z navbatida ba'zi taniqli tushunchalar yordamida ham aniqlanadi. Shunday qilib, biz boshqalar tomonidan aniqlab bo'lmaydigan oddiy tushunchalarga kelamiz. Ushbu tushunchalar asosiy deb nomlanadi.
Biz bayonotni, teoremani isbotlaganimizda, biz allaqachon isbotlangan deb hisoblangan binolarga suyanamiz. Ammo bu binolar ham isbotlangan, ular asoslanishi kerak edi. Oxir oqibat, biz tasdiqlanmaydigan bayonotlarni olamiz va ularni dalilsiz qabul qilamiz. Ushbu iboralar aksiomalar deb ataladi. Aksiomalar to'plami shunday bo'lishi kerakki, unga tayanib, kelgusidagi isbotlarni isbotlash mumkin.
Asosiy tushunchalarni va shakllangan aksiomalarni aniqlab , keyin biz teoremalarni va boshqa tushunchalarni mantiqiy ravishda olamiz. Bu geometriyaning mantiqiy tuzilishi. Aksiomalar va asosiy tushunchalar planimetriyaning asosini tashkil qiladi.
Barcha geometriyalar uchun asosiy tushunchalarning yagona ta'rifini berishning iloji yo'qligi sababli, geometriyaning asosiy tushunchalari ushbu geometriyaning aksiomalariga mos keladigan har qanday tabiat ob'ektlari sifatida aniqlanishi kerak. Shunday qilib, geometrik tizimning aksiomatik qurilishida biz ma'lum bir aksioma tizimidan yoki aksiomatikadan kelib chiqamiz . Ushbu aksiomalar geometrik tizimning asosiy tushunchalarining xususiyatlarini tavsiflaydi va biz aksiyomalarda ko'rsatilgan xususiyatlarga ega bo'lgan har qanday tabiat ob'ektlari shaklida asosiy tushunchalarni ifodalashimiz mumkin .
Birinchi geometrik bayonlarni shakllantirish va isbotlashdan so'ng , boshqalarning yordami bilan ba'zi iboralarni (teoremalarni) isbotlash mumkin bo'ladi . Ko'p teoremalarning isboti Pifagor va Demokritga tegishli.
Xios Gippokratiga ta'riflar va aksiomalarga asoslanib geometriyada birinchi tizimli kursni tuzish topshirilgan . Ushbu kurs va undan keyingi ishlov berish "Elementlar" deb nomlandi.
Keyin, III asrda. Miloddan avvalgi yilda Aleksandriya bir bor edi "Ishga tushirish" Rossiya tarjima, shu nom bilan Yevklid kitobi. Lotin nomi "Boshlanish" dan"elementar geometriya" atamasi paydo bo'ldi . qaramay asarlari Evklid o'tmishdoshlari bizni etib bormadi, biz Yevklid boshlanishi "," bu ishlar haqida ba'zi fikr shakllanishi mumkin. "Boshlang'ichlar" da boshqa bo'limlar bilan mantiqan kam bog'liq bo'lgan bo'limlar mavjud. Ularning tashqi ko'rinishi, ular an'analarga muvofiq tanilganligi va Evkliddan oldingi avlodlarning "Boshlanishlari" ni nusxalashlari bilan izohlanadi.
Evklidning "boshlanishlari" 13 ta kitobdan iborat. 1 - 6 kitob planimetriyaga bag'ishlangan, 7 - 10 kitob kompas va o'lchagich yordamida qurilishi mumkin bo'lgan arifmetik va nomutanosibliklarga bag'ishlangan. 11-13 kitoblar stereometriyaga bag'ishlangan.
"Boshlanishlar" 23 ta ta'rif va 10 ta aksiomalarning bayoni bilan boshlanadi . Birinchi besh aksioma - "umumiy tushunchalar", qolganlari "postulatlar" deb nomlanadi. Birinchi ikkita postulat harakatlarni ideal o'lchagich yordamida aniqlaydi, uchinchisi - ideal kompas yordamida. To'rtinchidan, "barcha to'g'ri tomonlar bir-biriga teng", ortiqcha, chunki uni qolgan aksiomalardan ajratib olish mumkin. ko'ra ikkinchi, beshinchi konutlaması : "Ikki to'g'ri chiziq ustida tushib, to'g'ri chiziq ichki va qilsa bilan, keyin kamida ikki to'g'ri burchak, miqdorida bir tomonlama burchaklar , ushbu ikki qator cheklanmagan uzaytirish, ular, bu tomonda qaerda burchaklari kamida ikki o'ng burchakka kesishadi."
Evklidning beshta "umumiy tushunchasi" uzunliklar, burchaklar, maydonlar, hajmlarni o'lchash tamoyilidir : "tenglari bir-biriga tengdir", "agar siz teng qo'shsangiz, miqdorlar bir-biriga teng bo'ladi", "Agar siz tenglik qilsangiz, qolganlar tengdir". ular orasida "" bir-biri bilan birlashtirilgan "" bir-biriga teng bo'lganlar "," "butun qismi qismdan kattaroqdir."
Keyin Evklid geometriyasini tanqid qilish boshlandi. Tanqidchilar Evklidni uchta sababga ko'ra soxtalashtirishdi : chunki u faqat kompas va o'lchagich yordamida qurilishi mumkin bo'lgan shunday geometrik miqdorlarni hisobga olgan; geometriyani va arifmetikani buzganligi va butun geometrik miqdorlar uchun isbotlaganlari va oxirida Evklid aksiomalari uchun. Evklidning eng murakkab postulati bo'lgan beshinchi postulat juda qattiq tanqid qilindi. Ko'pchilik buni ortiqcha deb hisoblagan va bu boshqa aksiomalardan kelib chiqishi mumkin va kerak. Boshqalar buni uning o'rniga sodda va intuitiv tarzda almashtirish kerak deb hisoblashgan : "Chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali bu chiziqni kesib o'tmasdan bir nechta chiziq chizish mumkin emas ."
Geometriya va arifmetika o'rtasidagi tafovutni tanqid qilish raqam tushunchasini haqiqiy raqamga kengaytirishga olib keldi. Beshinchi postulat haqidagi bahslar XIX asrning boshlarida N.I. Lobachevskiy, J. Boyeyay va K.F. Gauss yangi geometriyani qurdilar, unda Evklid geometriyasining barcha aksiomlari bajarildi, beshinchi postulat bundan mustasno. Uning o'rniga qarama-qarshi bayonot yozilgan: "Chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali tekislikda siz berilgan chiziq bilan kesishmaydigan bir nechta chiziqlarni chizishingiz mumkin." Bu geometriya Evklid geometriyasi kabi izchil edi.
Evklid tekisligidagi Lobachevskiy planimetriya modeli 1882 yilda frantsuz matematiki Genri Poincare tomonidan qurilgan.
Evklid tekisligida gorizontal chiziq chizing. Bu chiziq mutlaq (x) deb nomlanadi. Mutlaqdan yuqori bo'lgan Evklid tekisligining nuqtalari Lobachevskiy tekisligining nuqtalari. Lobachevskiy tekisligi bu mutlaqdan yuqori bo'lgan ochiq yarim tekislikdir. Poincaré modelidagi evklid bo'lmagan segmentlar mutlaqga (AB, CD) perpendikulyar bo'lgan chiziqlarning segmentlari va markazlari atrofida joylashgan aylana yoylari. Lobachevskiy tekisligidagi rasm mutlaq (F) ustida yotgan ochiq yarim tekislikning rasmidir. Evklid bo'lmagan harakat - bu mutlaq va eksenel simmetriyalarga yo'naltirilgan cheksiz sonli burilishlar tarkibidir, ularning o'qlari mutlaqga perpendikulyar bo'ladi. Evklid bo'lmagan ikkita segment tengdir, agar ulardan bittasini Evklid bo'lmagan harakat bilan boshqasiga o'girish mumkin bo'lsa. Bular Lobachevskiy planimetriyasining aksiomatikasining asosiy tushunchalari.
Lobachevskiy planimetriyasining barcha aksiomlari izchil . To'g'ri chiziqning ta'rifi quyidagicha : "Evklid bo'lmagan tekis chiziq - bu mutlaqga oxiri bo'lgan va absolyutga nisbatan perpendikulyar bo'lgan nurlari bo'lgan yarim doira." Shunday qilib, Lobachevskiyning parallelizm aksiomasi tasdiqlanishi nafaqat bu chiziqda yotmaydigan ba'zi bir chiziq va A nuqta uchun emas, balki Lobachevskiy geometriyasining orqasida boshqa izchil geometriyalar paydo bo'ldi : Evkliddan ajralib chiqdi. Proektsion geometriya, ko'p qirrali Evklid geometriyasi rivojlandi, Rimen geometriyasi (uzunliklarni o'zboshimchalik bilan o'lchash qonuniyatiga ega bo'lgan fazolarning umumiy nazariyasi) vujudga keldi va hokazo. Bir uch o'lchamli Evklid fazosidagi figuralar fanidan geometriya 40 - 5 tani oladi. 0 yil turli xil nazariyalarning kombinatsiyasiga aylandi, faqatgina ba'zi narsalarda uning ajdodiga o'xshash - Evklid geometriyasi.