1-ta’rif. Agar shunday sonlar ketma-ketligi mavjud bo‘lib, ixtiyoriy uchun Munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi kata sonlar qonuniga bo‘ysunmaydi, deyiladi

2-teorema.(Chebishev formasidagi kata sonlar qonuni).Agar
tasodifiy miqdorlar juft-jufti bilan bog‘liq bo‘lmagan bo‘lib, ularning dispersiyalari o‘zgarmas C son bilan tekis chegaralangan ixtiyoriy uchun, bo‘lsa, u holda ixtiyoriy uchun quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi:
,
ya’ni tasodifiy miqdorlar katta sonlar qonuniga bo‘ysunadi.
Isbot. , tasodifiy miqdorlarni kiritamiz.
Teorema shartiga ko‘ra,tasofdifiy miqdorlar yig‘indisining matematik kutilmasi va dispersiyasi xossalariga asosan quyidagi munosabatlarni hosil qilamiz:


Endi Chebishev tengsizligini tasodifiy miqdorga tadbiq qilib,

tengsizlikka ega bo‘lamiz.Bundan esa

kelib chiqadi.Teorema isbot qilindi.
Demak, Chebishev teoremasiga ko‘ra, tasofifiy miqdorlar juft-jufti bilan bog‘liqsiz va dispersiyalari tekis chegaralangan bo‘lasa, u holda bu tasodifiy miqdorlar o‘rta arifmetigi ortgani bilan bu tasofifiy miqdorlar o‘rta qiymatlarining matematik kutilmasiga istalgancha yaqin bo‘lar ekan.
Keyingi teorema Bernulli teoremasi deyiladi.
ta bog‘liqsiz tajribalar o ‘tkazilgan bo‘lib, ularning har birida hodisaning ro ‘y berish ehtimolligi o‘zgarmas soniga teng bo‘lsin.
3-teorema (Bernulli teoremasi). Bog‘liqsiz tajribalar soni ortishi bilan hodisaning ta tajribada ro ‘y berish nisbiy chastotasi , uning bitta tajribada ro‘y berish ehtimolligi ga ehtimollik bo ‘yicha yaqinlashadi, ya’ni ixtiyoriy son uchun

Teorema shartlari bajarilganda va chekli bo‘lganda tasodifiy miqdor uchun
va
bo‘ladi. U holda tasodifiy miqdor uchun Chebishev tengsizligi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi

va bu tengsizlikdan teoremaning isboti kelib chiqadi.( cheksizlikka intilganda ixtiyoriy kichkina uchun nolga, ehtimollik birga intiladi).
Bernulli teoremasi ko‘rsatadiki, tajribalar soni yetarlicha katta bo ‘lganida, hodisa ro‘y berishining nisbiy chastotasi o‘zining tasodifiy ma’nosini yo‘qotadi va berilgan hodisaning ehtimolligi o‘zgarmas son ga yaqinlashadi. Bu esa tasodifiy tajribalar uchun muqarrarlik prinsipini ifoda etadi.
2-misol. Mahsulotlar partiyasini nosozlikka tekshirish uchun 1000 mahsulot tanlab olingan. Agar hatr 10000 ta mahsulotga o‘rtacha 500 ta nosoz mahsulot to‘g‘ri kelsa, olinga tanlanma orqali topilgan nosoz mahsulotlar ulushi absolyut qiymati bo‘yicha mahsulotlar partiyasining nosozlik ulushidan 0,01 dan kichik farqqa ega ega bo‘lish ehtimolliginu baholang.
Yechish. Masalaning shartlari bo‘yicha bog‘liqsiz tajribalar soni , , va hodisaning ehtimolligini baholash kerak.

bo‘ladi.Demak,tanlanmadagi nosozliklar ulushi mahsulotlar partiyasidagi nosozliklar ulushidan 0,01 dan kichik farqlanishining ehtimolligi 0,527 dan kichik bo‘lmas ekan.
3-misol.Ushbu shakldagi

Chebishev tengsizligini isbotlang.
Yechish.
Bizga ehtimollar fazosi elementidan malumki,


. Tengsizlik isbotlandi.
4-misol.Qurilma o‘zaro erkli ishlaydigan 10 ta elementdan iborat. Har bir elementning T vaqt ichida ishdan chiqish ehtimolligi 0,05 ga teng.Chebishev tengsizligidan foydalanib, T vaqt ichida ishdan chiqqan elementlar soni bilan shu vaqt ichida ishgan chiqqan elementlarni o ‘rtacha soni orasidagi ayirmaning absolyut qiymat uchdan kichik bo‘lish ehtimolini baholang.
Yechish.
5-misol. diskret tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan:
0,1 0,4 0,6
0,2 0,3 0,5
Chebishev tengsizligidan foydalanib, bo‘lish ehtimolini baholang.
Yechish.
Shartga ko‘ra