1-ta’rif. Agar shunday sonlar ketma-ketligi mavjud bo‘lib, ixtiyoriy uchun Munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi kata sonlar qonuniga bo‘ysunmaydi, deyiladi

Chebishev tengsizligi.Katta sonlar qonuni
Faraz qilaylik, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif.Agar shunday sonlar ketma-ketligi mavjud bo‘lib, ixtiyoriy uchun

Munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi kata sonlar qonuniga bo‘ysunmaydi, deyiladi.

Katta sonlar qonunini isbotlashda quyidagi Chebishev tengsizligi keng qo‘llanilishini Chebishev teoremasida keltiramiz.

1-teorema.(Chebishev tengsizligi). Chekli dispersiyaga ega bo‘lgan tasodifiy miqdor va >0 uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:
.
Isbot. tasodifiy miqdor absolyut uzluksiz, uning zichlik funksiyasi bo‘lsin.U holda uning dispersiyasi

bo‘ladi. Oxirdi integralni ikkiga ajraramiz:

Bu tenglikdan quyidagi

tengsizlik kelib chiqadi.Integral ostidagi ni ga almashtirib, quyidagini hosil qilamiz:

Bu yerdan esa uzluksiz tasidofiy miqdor uchun Chebishev tengsizligi kelib chiqadi. Endi tasofifiy miqdor diskiret bo‘lib, qiymatlarni mos ravishda ehtimolliklar qabul qilsin.U holda uning dispersiyasi

bo‘ladi.
Bunday tasodifiy miqdorlar uchun Chebishev tengsizligini quyidagicha isbotlaymiz. va hodisalarni kiritsak, u holda

bo‘lib, Chebishev tengsizligining o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi.
Eslatma.Chebishev tengsizligini quyidagi

ko‘rinishida ham ham yozish mumkin, ya’ni tasodifiy miqdor o‘zining
matematik kutilmasidan chetlashishining absolyut qiymati musbat dan kichik bo‘lish ehtimolligi kichik emas.
1-Misol.Matematik kutilmasi va dispersiyasi bo‘lgan tasodifiy miqdor berilgan bo‘lsin. tasodifiy miqdor berilgan bo‘lsin. tasodifiy miqdor o‘zining matematik kutilmasidan ga chetlanish ehtimolligini yuqoridan baholang.
Yechish.Chebishev tengsizligida deb olamiz.U holda

bo‘ladi.Yuqorida keltirilgan tengsizlikni matematek statistikada -qoidasi deyiladi.
Endi katta sonlar qonuniga o‘tamiz.