1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularga qo’yiladigan koshi masalasini yechish usuli

Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli bo’lmagan tenglamaning umumiy yechimi va Koshi masalasi yechimini topish usuli.

Faraz qilaylik bizga (15)

ko’rinishdagi birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama berilgan bo’lsin. Odatda bu tenglama hosilalarga nisbatan chiziqli yoki kvazichiziqli differensial tenglama deb yuritiladi. Tenglamada berilgan va funksiyalarni o’z o’zgaruvchilarining o’zgarish sohasida uzluksiz differensiallanuvchi va noldan farqli berilgan funksiyalar deb qaraymiz.
Quyida biz (15) kvazichiziqli tenglamaning umumiy yechimini topishning xususiy hosilali bir jinsli chiziqli differensial tenglamaga keltirish usuli bilan tanishamiz. Buning uchun (15) ning yechimini oshkormas ko’rinishda topilgan (umumiy integrali) deb faraz qilamiz: .
Oshkormas funksiyani differensiallash qoidasiga asosan tenglikka egamiz.
Bu ifodalarni (15) tenglamaga qo’yib hamda ni ham hozircha erkli o’zgaruvchi sifatida qarab, funksiyaga nisbatan (15) ga teng kuchli bo’lgan
(16)
1-tartibli xususiy hosilali chiziqli bir jinsli differensial tenglamaga kelamiz. Bu tipli tenglama va unga nisbatan qo’yilgan Koshi masalasini esa biz mavzuning oldingi qismida tanishdik. Shuning uchun (15) ning umumiy yechimini topishning qisqacha algoritmini keltirishimiz kifoya.
(15) umumiy yechimini topish uchun dastlab unga mos xarakteristik tenglamalar sistemasini tuzamiz:
.
Faraz qilaylik bu ta tenglamalar sistemalarining umumiy integrallari bo’lsin. U holda (16) tenglamaning umumiy yechimi ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi funksiya orqali
formula bilan beriladi. U holda (15) tenglamaning umumiy yechimi
oshkormas ko’rinishda beriladi.
Topilgan bu yechimdan foydalanib, (15) tenglamaga qo’yilgan Koshi masalasining, ya’ni (15) ning biror shartni qanoatlantiruvchi yechimini ham topishimiz mumkin.