1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularga qo’yiladigan koshi masalasini yechish usuli

5-Misol. xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglama uch o’zgaruvchili funksiyaga nisbatan bibrinchi tartibli bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamadir. Uning umumiy yechimini topish maqsadida dastlab bu tenglamaga mos xarakteristik tenglamani tuzamiz: . Ushbu 3 ta diferensial tenglamalardan iborat sistemani
ko’rinishda yozib, integrallarini topamiz: . (17)
Yuqorida ta’kidlaganimizga asosan berilgan tenglamaning umumiy yechimi (umumiy integrali) oshkormas ko’rinishda
formula bilan beriladi. Bunda ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi funksiya.
6-Misol. xususiy hosilali differensial tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping. -berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiya.
Yechish. Bu biz 5-misolda qaragan tenglamaga qo’shimcha shart qo’yilgan Koshi masalasidan iborat. Uning umumiy yechimi (umumiy integrali) 5-misolda topilgani kabi
oshkormas ko’rinishda topiladi.
Endi qo’yilgan Koshi masalasining yechimini topish uchun ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi funksiyani shunfay tanlaymizki, yoki qo’shimcha shartni
(18) ko’rinishda yozamiz. 5-misolda topilgan (17) xarakteristikalarda deb, yangi belgilashlar kiritamiz: Bu sistemani ga nisbatan yechamiz: . Topilgan bu ifodalarni (18) ga qo’yib, quyidagi ifodani hosil qilamiz
. Masala yechimi bo’lganligi uchun yuqorigagi tenglikka asosan qo’yilgan Koshi masalasining yechimi oshkormas shaklda formula bilan beriladi. Bu ifodalarda soddalshtirishlarni bajarsak quyidagi tenlikni olamiz Bu tenglikni ga nisbatan yechib, Koshi masalasining oshkor ko’rinishdagi yechimiga ega bo’lamiz.
Demak 1-tartibli xususiy hosilali kvazichiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini topish masalasi bir jinsli differensial tenglamani yechish masalasiga keltirilar va xarakteristikalar usulida umumiy yechimni topish mumkin ekan. Koshi maslasi yechimi esa Koshi masalasidagi qo’shimcha shart xarakteristikalarda tekshirilib, yangi o’zgaruvchi kiritish yordamida topilar ekan.
Eslatma. Ba’zan 1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimini topishda xarakteristik tenglamalar sistemasi integrallarini topish jarayonida
ekanligidan tenglikning ham o’rinli ekanligidan foydalanish mumkin. Bunda biror funksiyalar.