5- mustaqil ish topshiriqlari. Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamalar. Klero va Lagranj tenglamalari

5- MUSTAQIL ISH TOPSHIRIQLARI.
Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamalar. Klero va Lagranj tenglamalari.

1. 
   Hosilaga nisbatan yechiladigan tenglamani integrallang.
   

Namuna:

1. 
   Tenglamani yeching:
   

◄Berilgan tenglamani hosilaga nisbatan kvadrat tenglama sifatida yechib, ikkita birinchi tartibli differensial tenglamalarni hosil qilamiz:
,
Ikkala tenglamalar ham chiziqli tenglamalar bo’lib, ularning umumiy yechimlarini topish qiyin emas:
, ,
bundan
,
umumiy integrallarni topamiz. Endi dastlabki tenglamaning umumiy integralini yozamiz: ►
2. Tenglamani yeching:
◄Bu tenglamani ga nisbatan uchinchi darajali algebraik tenglama sifatida qaraymiz. Bunday tenglamalar nazariyasiga ko’ra, ozod hadning bo’luvchilari berilgan tenglamaning ildizlari bo’lishi mumkin. Shunga asoslangan holda ifoda berilgan tenglamaning yechimi ekanligiga bevosita tekshirish bilan ishonch hosil qilamiz. Berilgan tenglamaning qolgan yechimlarini tenglamadan topamiz: , . Hosil bo’lgan uchala differentsial tenglamalarning umumiy yechimlari mos ravishda , ko’rinishlarda topiladi. Shunday qilib, dastlabki berilgan tenglamaning umumiy integrali

ko’rinishda yoziladi.►

2. 
   Erkli o’zgaruvchili ga nisbatan yechiladigan tenglamani integrallang.
   

Namuna:
Tenglamani yeching: (1)
bunda parametr kiritib (2)
tenglikni differensiallasak ifodani olamiz. ekanligi uchun so’nggi tenglamadan ifodani olamiz. Bu (2) bilan birga (1) tenglamani parametrik ko’rinishidagi umumiy yechimini ifodalaydi.

3. 
   Noma’lum funksiya y ga nisbatan yechiladigan tenglamani integrallang.
   

Namuna:
Tenglamani yeching: .
Yechish: parametr kiritib, so’ngra hosil bo’lgan ifodaning ikkala tomonini differensiallaymiz:
.
Bundan ekanligini e’tiborga olsak va kelib chiqadi. , ya’ni to’g’ri chiziqlar dagina tenglamani qanoatlantirishini ko’rish qiyin emas. Demak, javob: , ; y=0.

4. 
   Lagranj tenglamasini yeching.
   

Ushbu
(1)
Ko’rinishdagi differensial tenglama Lagranj tenglamasi deyiladi, bu yerda va - biror intervalda differensiallanuvchi funktsiyalar.
Agar (1) Lagranj tenglamasida bo’lsa, Klero tenglamasi deb ataluvchi
(2)
tenglama hosil bo’ladi.
Namuna:

1. 
   Tenglamani yeching:
   

◄Bu Lagranj tenglamasi:

Aniqlanishiga ko’ra,
Ushbu chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishdadir(3-mustaqil ishda o’rganilgan).
Javob: ►

2. 
   Tenglamani yeching: .
   

◄ Bu Klero tenglamasi:
Tenglamani parametr kiritish usuli bilan yechamiz:

Agar bo’lsa, bo’ladi. Uni ifodaga qo’ysak, u holda , ya’ni ko’rinishdagi bir parametrli integral to’g’ri chiziqlar oilasiga ega bo’lamiz. Bu berilgan tenglamaning yechimi bo’ladi.
Endi va tenglamalardan munosabatni olamiz. So’ngra bir parametrli integral to’g’ri chiziqlar oilasining o’ramasini topish uchun va tenglamalardan ni yo’qo-tamiz: - o’rama tenglamasi. Shunday qilib, berilgan tenglamaning hamma yechimlari ko’rinishda bo’ladi.►




Klero tenglamasining umumiy va maxsus yechimlarini toping.