1. To’qinlar superpozitsiyasi Kogerent to’lqinlar va kogerentlik sharti

4-MA’RUZA: TO’LQIN HODISALARI  

REJA: 

 

1. To’qinlar superpozitsiyasi 

2. Kogerent to’lqinlar va kogerentlik sharti 

3. To’lqinlar interferentsiyasi 

4. Turg’un to’lqinlar 

5.

 

Gyuygens prinsipi 

 

To‘lqin superpozitsiyasi 

 

Agarda,  muhitda  bir  vaqtda  bir  nechta  to‘lqinlar  tarqalayotgan  bo‘lsa,  u  holda  muhit 

zarrachalarining natijaviy  tebranishi har bir to‘lqinning alohida tarqalishiga bog‘liq zarrachalar 

tebranishlarining  geometrik  yig‘indisidan  iborat  bo‘ladi.  Shu  sababli,  to‘lqinlar  bir-birini 

qo‘zg‘atmay, oddiygina      bir-birining ustiga tushadi. 

 

 

 

1 - rasm. Ikkita nuqtaviy manbadan bir xil yo‘nalishda tarqalayotgan to‘lqinlarning 

qo‘shilishi. 

Tajribalardan  olingan  bu  tasdiq  to‘lqinlarning 

superpozitsiya  printsipi

  deb  ataladi. 

Zarrachalarning  natijaviy  harakati  tashkil  etuvchi  tebranishlarning  chastota,  amplituda  va 

fazalariga bog‘liqdir. Bir xil  yo‘nalishga ega bo‘lgan manbadan chiqayotgan ikkita to‘lqinning 

qo‘shilishi  alohida  qiziqish  tug‘diradi.  Masalan,  bu  to‘lqinlar  S

1

  va

 

S

2 

nuqtaviy  manbalardan 

qo‘zg‘atilgan bo‘lib ularning chastotalari 

  va 

, boshlang‘ich fazalari bir  xil va  nolga 

teng bo‘lsin  (1 - rasm). 

 

Bu sinusoidal to’lqin deb ataladi. 

1



2



 

Ixtiyoriy M nuqtada hosil bo‘lgan tebranishlar quyidagi tenglamalarni qanoatlantiradilar: 

 ,                     (1) 

 

Bir tomonga qarab harakatlanayotgan to’lqin chopar to’lqin deb ataladi. 

 

 

Tebranishlar  bir  xil  yo‘nalishda  sodir  bo‘lganligi  uchun  M    nuqtada  natijaviy  tebranish 

amplitudasi 

 ,          (2) 

ga teng bo‘ladi va u tebranishlar fazalari farqi qiymatiga bog‘liq bo‘ladi: 

 

 

Agarda tebranishlar chastotasi bir-biriga teng bo‘lmasa 

, 

u holda fazalar farqi vaqt o‘tishi bilan o‘zgarib boradi: 

 

 

*

Bunday  to‘lqinlar 

kogerent  bo‘lmagan  to‘lqinlar 

deb  ataladi,  chunki  vaqt  o‘tishi  bilan 

natijaviy tebranish amplitudasi ham o‘zgara boradi. Kogerent bo‘lmagan to‘lqinlar bir - birining 

ustiga  tushganda  natijaviy  to‘lqin  amplitudasi  kvadratining  o‘rtacha  qiymati  qo‘shiladigan 

to‘lqinlar amplitudalarining kvadratlari yig‘indisiga teng bo‘ladi: 

 

Bu holda fazalar farqining o‘rtacha qiymati nolga teng bo‘lishi kerak: 

 















































2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

2

2

r

t

Sin

A

r

t

Sin

A





















2

1

2

1

2

2

2

1

2













Cos

A

A

A

A

A



































2

2

2

1

1

1

2

1

2

2

r

t

r

t

















2

































2

2

1

1

2

1

2

1

2















r

r

t

2

2

2

1

2

A

A

A





0

)

cos(

2

1













 

Yuqoridagi  qonuniyatlar  shunday  xulosaga  olib  keladi:  har  bir  nuqtadagi  natijaviy 

tebranish energiyasi barcha nokogerent to‘lqinlar energiyalarining yig‘indisiga tengdir. 

 

Agarda manbalar to‘lqinlarining chastotalari teng bo‘lsa, 

 , 

u holda, fazalar farqi, vaqtga bog‘liq bo‘lmagan, o‘zgarmas kattalik bo‘ladi  

 

 

Chastotalari  bir  xil  va  tebranishlari  o‘zgarmas  fazalar  farqiga  ega  bo‘lgan  to‘lqinlar 

kogerent to‘lqinlar

 deb ataladi. 

 

Kogerent to‘lqinlar uchun, qo‘shiladigan tebranishlar fazalar farqi faqat  

 

kattalikka bog‘liq bo‘ladi va bu 

yo‘lning geometrik farqi

 deb ataladi.     (2) - ifodadan kogerent 

to‘lqinlar uchun 

 

bo‘lgan nuqtalarda amplituda maksimal qiymatga erishadi: 

 

  qiymati quyidagi hollarda birga teng bo‘ladi: 

 , 

bu yerda  m = 0, 1, 2, … , hamma nuqtalar uchun, yo‘l farqi kattaligi to‘lqin uzunligining butun 

sonlariga teng bo‘lganda bajariladi  

 ,                                           (3) 

Bu shart, to‘lqinlar qo‘shilishida tebranishlarning kuchayish sharti deb ataladi. 

 

Kogerent to‘lqinlar uchun, 

cos(φ

1

 – φ

2

) = -1 

bo‘lgan  nuqtalarda tebranish amplitudasi minimal qiymatga ega bo‘ladi: 

A

min 

= A

1

 – A

2

 

       

   shart quyidagi hollarda bajariladi: 

   yoki   

 ,     (4) 

Bu tenglik 

tebranishlarning susayish sharti

 deb ataladi. 

 

Agarda, qo‘shiladigan tebranishlar amplitudalari bir-biriga teng bo‘lsa 

A

1 

= A

2

 

u holda to‘lqinlar kuchayadigan nuqtalarda  

A = 2A

1

 

ga teng bo‘ladi, to‘lqinlar susayadigan nuqtalarda  

                                                           A = 0  

ga teng bo‘ladi. 

2

1











2

1

2

1

2

r

r















2

1

r

r











1

2

1









Cos

2

1

max

A

A

A









2

1







Cos











m

2

2

2

1











m









1

2

1











Cos















1

2

2

2

1













m





2

1

2









m

 

Markazdan o’tgan chiziqdan to’lqinning eng baland nuqtasi yoki eng kichik nuqtasigacha 

bo’lgan masofa amplituda deb ataladi va u katta A harfi bilan belgilanadi. 

 

Shunday  qilib,  kogerent  to‘lqinlarning  bir-birining  ustiga  tushishi  fazaning  ayrim 

nuqtalarida  muhit  zarrachalari  tebranishlarining  turg‘un  kuchayishiga  va  boshqa  nuqtalarida 

tebranishning  susayishiga  olib  keladi.  Bu  hodisa 

tebranishlarning  interferentsiyasi

  deb  ataladi. 

(3)  -  va  (4)  tengliklardagi  m  kattalik 

interferentsiya  maksimumi

  yoki 

minimumining  tartibi

  deb 

ataladi.  

 

1 - rasmdagi S

1

, S

2

 manbalar chizig‘iga parallel bo‘lgan va undan L masofada joylashgan 

  to‘g‘ri  chiziqda  nol  tartibli  markaziy  maksimum,  S

1 

va  S

2 

manbalardan  barobar 

masofada bo‘lgan 0 nuqtada kuzatiladi. 

 

Agarda manbalar orasidagi masofa 

ℓ ˂˂ L 

bo‘lsa, 

 chiziqda,  0  nuqtadan < u > masofada joylashgan M nuqta uchun yo‘l farqi  

 

,          

                  (5) 

ga teng bo‘ladi. 

 

m va m + 1 tartibli maksimumlar quyidagi masofalarda kuzatiladi: 

 

  ,        

 ,                    (6) 

 

Qo‘shni  maksimumlar  yoki  minimumlar  orasidagi  masofa 

interferentsiya  yo‘llari

 

kengligi

 deb ataladi. (6) -ifodadan interferentsiya yo‘llari kengligi quyidagiga tengdir: 

  ,                         (7) 

To‘lqinlar interferentsiyasida energiyalar yig‘indisi murakkab ko‘rinishga ega.   To‘lqinlar 

interferentsiyasi  muhitning  qo‘shni  sohalari  orasida  tebranishlar  energiyasining  qayta 

taqsimlanishiga olib keladi. Ammo energiyaning umumiy miqdori o‘zgarmay qoladi. 

 

 

 





ab





ab

L

ly





l

L

m

Y

m









l

L

m

Y

m



1

1









l

h

Y

Y

y

m

m











1

Turg‘un to‘lqinlar 

 

Bir xil amplitudali ikkita qarama-qarshi yo‘nalgan to‘lqinlarni qo‘shilishida juda muhim 

bo‘lgan  interferentsiya  hodisasi  kuzatiladi.  Natijada  paydo  bo‘lgan  tebranma  jarayon 

turg‘un 

to‘lqin

 deb ataladi. 

 Amalda  turg‘un  to‘lqinlar  to‘lqinlarni  to‘siqlardan  qaytishida  hosil    bo‘ladi.  x  -  o‘qi 

bo‘ylab, qarama - qarshi yo‘nalishlarda tarqalayotgan, amplituda va chastotalari bir xil bo‘lgan 

ikkita yassi to‘lqinning tenglamasini yozamiz.

 

  ,                     (1) 

 

Bu ikki tenglamani qo‘shsak, natijaviy to‘lqin tenglamasini keltirib chiqaramiz: 

 ,                    (2) 

 

Arqonning ba`zi bir nuqtalari umuman harakat qilmayotganiga e`tibor bering. Bu 

qo`zg`almas nuqtalar tugunlar deb ataladi. 

Bu  tenglamadan,  turg‘un  to‘lqinning  har  bir  nuqtasida  uchrashayotgan,  to‘lqinlar  chastotasiga 

teng chastotali tebranishlar kuzatilishi ko‘rinib turibdi va uning amplitudasi   x  ga quyidagicha 

bog‘liq bo‘ladi: 

 

 

Boshqa nuqtalar esa o`zlarining maksimum harakatlarini bajaradi. Bular esa do’ngliklar 

deb ataladi. 













































x

t

ASin

x

t

ASin

















2

2

2

1

t

Sin

x

ACos





















2

2

2

1

x

ACos

A

tur





2

2



Koordinatalari quyidagi  shartlarni: 

    

  ,                      (3) 

 

Agar biz to’lqinni bir momentga to`xtatib qo`ysak, bir xil turg’un to’lqin bo’ladi. 

qanoatlantiradigan nuqtalarda amplituda o‘zining 2A maksimal qiymatiga erishadi. Bu nuqtalar 

turg‘un to‘lqinning do‘ngliklari

 deb ataladi. Koordinatalari  

 

 

 

  , 

   

           (4) 

shartni qanoatlantiradigan nuqtalarda to‘lqin amplitudasi nolga aylanadi va bu nuqtalar 

turg‘un 

to‘lqinning  tugunlari

  deb  ataladi.  Qo‘shni  tugunlar  yoki  do‘ngliklar  orasidagi  masofa  turg‘un 

to‘lqinning to‘lqin uzunligi deb ataladi va u (3) -  va (4) - ifodadan,  chopar to‘lqinning to‘lqin 

uzunligini yarmiga teng bo‘ladi              

 

 

hattoki turg`un to`lqinlarda ham do’nglikdan do’nglikkacha, tubidan keyingi tubigacha 

yoki to`lqinnning ixtiyoriy nuqtasidan keyingi ekvivalent nuqtasigacha bo’lgan masofa 

to’lqin uzunligi hisoblanadi. 







m

x

2

2







...,

2

,

1

,

0



m





2

1

2

2













m

x

2

yug

tur







    –  ko‘paytma,  nol  qiymatni  kesib  o‘tganda  o‘zining  ishorasini 

o‘zgartiradi, shu sababli, tugunning har xil tomonlaridagi tebranishlar fazasi 

  ga farq qiladi,  

ya’ni ikki tomondagi zarrachalar qarama - qarshi fazalarda tebranadilar.  

 

2 - rasm. Turg‘un to‘lqinlar. 

2  -  rasmda  muhit  zarrachalarining  1/4  davrga  teng  vaqt  momentlaridagi  holatlari 

keltirilgan. Ko‘rsatkichlar bilan zarrachalar tezligi  ko‘rsatilgan.  Yugurayotgan to‘lqindan  farqli 

ravishda turg‘un to‘lqinda energiya uzatilishi kuzatilmaydi.  

 

 

Arqonning tezligi, u hech qayerga yurmayotgan bo`lsa ham,  to`lqin uzunligini 

chastotaga kopaytmasi bilan aniqlanadi. 

Energiya davriy ravishda, muhitni elastik deformatsiyalab, kinetik energiyadan potentsial 

energiyaga va teskariga o‘tib turadi. Qaytish nuqtalarida, tushayotgan va qaytayotgan to‘lqinlar 

tebranishi bir xil fazada sodir bo‘ladi, shuning uchun bu tebranishlar qo‘shilganda amplitudalar 

kuchayadi. 

 

 

x

ACos





2

2



Gyuygens prinsipi 

 

Gyuygens printsipi yordamida to‘lqinlarning tarqalish hodisalarini kuzatish  osonlashadi. 

Bu printsipga asosan, to‘lqin harakati yetib borgan har bir nuqta ikkilamchi to‘lqinlar manbaiga 

aylanadi: bu to‘lqinlarni o‘rab oluvchi egri chiziq keyingi momentdagi to‘lqinlar fronti holatini 

beradi     (3 - rasm).  

Gyuygens printsipidan foydalanib, ikki muhit chegarasidan to‘lqinlarni qaytish va sinish 

qonunlarini keltirib chiqarish mumkin. 

 

 

3 - rasm. Ikkilamchi to‘lqinlarning hosil bo‘lish markazlari. 

 

To‘lqinlarning  burchak  ostida  tushganidagi  sinishi  har  xil  muhitdagi,  ularning  har  xil 

tezliklarga ega bo‘lishi bilan tushuntiriladi. 

 

Gyuygens  printsipi,    to‘lqinlarga  xos  bo‘lgan,    ularning  to‘g‘ri  chiziqli  tarqalishidan 

og‘ishini tushuntirib bera oladi. 

 

Agarda  to‘lqinlar  chegaralanmagan  fazoda  tarqalsalar,  ular  o‘zlarining  to‘g‘ri  chiziqli 

yo‘nalishini  saqlab  qoladilar.  O‘z  yo‘lida  to‘siqlarga  duch  kelsa,  uni  o‘rab  o‘tishga  intilishadi. 

Bu hodisa 

difraktsiya hodisasi

 deb ataladi. 

 

 

 

4 - rasm. Ikkilamchi to‘lqinlar frontining hosil bo‘lishi. 

 

Masalan,  ko‘p  teshikli  yassi  to‘siqqa  unga  parallel  bo‘lgan  to‘lqin  fronti  tushayotgan 

bo‘lsin (4 - rasm). 

Gyuygens  printsipiga  asosan,  yassi  to‘lqinning  har  bir  teshigiga  to‘g‘ri  kelgan  nuqtalar 

ikkilamchi  to‘lqinlar  markaziga  aylanadilar.  Bu  ikkilamchi  to‘lqinlarni  o‘rab  oluvchi  egri 

chiziqni chizsak, u ikkilamchi to‘lqin fronti geometrik soya sohasini ham egallay boshlaydi.