1. Умумлашган функсияларда ўзгарувчини алмаштириш. Умумлашган функсияга кўпайтириш. Умумлашган функциянинг ҳосиласи

4. Умумлашган ҳосиланинг хоссалари.
Умумлашган функцияларни дифференциалаш амали қуйидаги хоссаларга эгадир:
а) 𝑓 дифференциаллаш амали фазони фазога акслантирувчи чизиқли ва узлуксиз оператор бўлади. Шунга кўра, ихтиёрий 𝑓,g  умумлашган функция учун
тенглик ўринли бўлади. Бу чизиқлилик хоссасини исбот қиламиз. Ҳақиқатдан ҳам ихтиёрий (x)D(G) учун
=
= +
= λ тенглик ўринли бўлади.
Агар k   да фазода  0 яқинлашувчи бўлса, у ҳолда k   да фазода яқинлашувчи бўлади. Бу узлуксизлик хоссасини ҳам исбот қиламиз. k   да фазода  0 яқинлашувчи бўлсин. У ҳолда ихтиёрий (x)D(G) учун k   да
 0 яқинлашувчи бўлади. Бу эса k   да фазода  0 яқинлашувчи бўлишлигини билдиради.
Масалан,   0 да фазода
 (7) яқинлашувчи бўлади.
б) Ихтиёрий  умумлашган функция (хусусан, G очиқ тўпламда локал жамланувчи ихтиёрий функция) (умумлашган маънода) чексиз дифференциалланувчи бўлади.

Ҳақиқатдан ҳам, агар  бўлса, у ҳолда  бўлади. Худди шунингдек, ўз навбатида  бўлади ва ҳоказо.

в) Дифференциаллашнинг натижаси дифференциаллашнинг тартибига боғлиқ эмас.
Масалан: ихтиёрий  учун
(8) тенглик ўринли бўлади. Ҳақиқатан ҳам, ихтиёрий D(G) учун
( (𝑓, =( тенглик ўринли бўлади. Умуман олганда
= (9) тенглик ўринлидир.
Ҳақиқатан ҳам, ихтиёрий D(G) учун
( =
= ( = тенглик ўринли ва бундан эса (9) тенглик келиб чиқади.
г) Агар  ва a(x) бўлса, у ҳолда a(x)f(x) кўпайтма функцияни дифференциаллаш учун
= (10) Лейбниц формуласи ўринли бўлади.
Ҳақиқатдан ҳам, агар ихтиёрий D(G) функция бўлса, у ҳолда

= - тенглик ўринли ва бундан (10) тенглик   (1,0,...,0) учун келиб чиқади. Шунга кўра, математик индукция усулини қўллаб, биз (10) формулани ихтиёрий мультииндекс учун исбот қилишимиз мумкин бўлади.
д) Агар x G очиқ тўпламда умумлашган функция f  0 тенг бўлса, у ҳолда шу x G очиқ тўпламда =0 тенглик ўринли бўлади, шунга кўра supp supp 𝑓 муносабат ўринли бўлади.
Ҳақиқатдан ҳам, агар D(G) бўлса, у ҳолда D(G) бўлади. Шунга кўра ихтиёрий D(G) функция учун
тенглик ўринли бўлади ва бу тенглик x G учун  0 эканлигини билдиради.
и) Агар локал интегралланувчи функциялардан тузилган

қатор ҳар бир компактда текис яқинлашувчи бўлса, у ҳолда бу қаторни исталган марта ҳадма-ҳад дифференциаллаш мумкин ва дифференциаллашдан ҳосил қилинган қаторлар 'фазода яқинлашувчи бўлади.
Ҳақиқатдан ҳам, ихтиёрий R  0 учун p   да
 текис яқинлашувчи бўлади. Шунга кўра p   да фазода S яқинлашувчи бўлади. Юқоридаги а) хоссага кўра p   да фазода
 яқинлашувчи бўлади. Бу эса хоссанинг тасдиғини билдиради.
Ушбу хоссадан қуйидаги хулоса келиб чиқади: агар
(11) тенгсизлик ўринли бўлса, у ҳолда
(12) (12) тригонометрик қатор фазода яқинлашувчи бўлади.
Ҳақиқатдан ҳам, (3.4.6) муносабатага кўра k
қатор фазода текис яқинлашувчидир. Шунинг учун унинг m  2 тартибли ҳосиласи фазода яқинлашувчи бўлиб, бу қатор эса (12) қатор билан устма-уст тaушади.

Фойдаланилган адабиётлар
1. Ш.Ғ. ҚОСИМОВ, Т.Н. АЛИҚУЛОВ, Ш.Қ. ОТАЕВ, Ғ.С. ХАИТБОЕВ, М.М. БАБАЕВ. “МАТЕМАТИК ФИЗИКАНИНГ ЗАМОНАВИЙ УСУЛЛАРИ” ўқув қўлланма Тошкент “Университет” 2016