1. Умумлашган функсияларда ўзгарувчини алмаштириш. Умумлашган функсияга кўпайтириш. Умумлашган функциянинг ҳосиласи

Mavzu: Taqsimotlar ustida amallar. Taqsimotning hosilasi va uning xossalari
Reja
1.Умумлашган функсияларда ўзгарувчини алмаштириш.
2.Умумлашган функсияга кўпайтириш.
3. Умумлашган функциянинг ҳосиласи.
4. Умумлашган ҳосиланинг хоссалари.


1. Умумлашган функцияларда ўзгарувчиларни алмаштириш. f(x) ва x=Ay+b ,det A  0 шу очиқ тўпламни G очиқ тўпламга акслантирувчи махсусмас чизиқли алмаштириш бўлсин. У ҳолда ихтиёрий   D( ) учун
(f(Ay+b), =
= тенгликни ҳосил қиламиз. Бу тенгликни биз ихтиёрий f(x) G) учун f (Ay  b) умумлашган функциянинг таърифи сифатида қабул қиламиз ва ихтиёрий учун
(1) тенгликни ёзамиз. Шунингдек амали D( фазони D(G) фазога чизиқли ва узлуксиз акслантирувчи функционал бўлиб, (1) тенгликнинг ўнг томони билан аниқланадиган f (Ay  b функционал фазога тегишли бўлади.
Хусусан, агар A–буриш, яъни ва b  0 бўлса, у ҳолда (f(Ay), )= (f, )) тенглик ўринли бўлади. Агар A– ўхшаш (акс эттириш билан бирга) алмаштириш, яъни A  сI, c 0 ва b  0 бўлса, у ҳолда
(f(cy), )= тенглик ўринли бўлади. Агар A  I бўлса, у ҳолда ( b векторга силжитиш)
(f(y+b), бўлади. Одатда f (x  b) умумлашган функцияга f (x) умумлашган функциянинг b векторга силжитилгани дейилади.
Масалан, а) (x) функция акс эттириш умумлашган функцияси бўлиб,  (x) умумлашган функцияга тенг, яъни
((-x), (x))=( (x), (-x))= (0)=((x), (x)) формула орқали аниқланади. Бундан (-x)= (x) келиб чиқади.
б) (x- ) умумлашган функция  (x) умумлашган функциянинг векторга силжитилгани бўлиб
((x- ), )=( , (x- ))= ( ) формула орқали аниқланади.
Шунингдек, бундай киритиш трансляцион–инвариант, сферик–симметрик, марказий–симметрик, бир жинсли, даврий, Лорец–инвариант ва бошқа умумлашган функцияларни аниқлашга имкон беради.
Масалан, агар Лоренц гуруппасидаги (яъни фазодаги …- квадратик формани сақлайдиган ихтиёрий A чизиқли алмаштириш учун) ихтиёрий A алмаштириш учун f (Ax)  f (x) тенглик ўринли бўлса, у ҳолда f умумлашган функция Лоренц гуруппасига нисбатан инвариант дейилади.
Беъвосита (3.3.30) таърифдан ўзгарувчиларни чизиқли алмаштириш амали D( фазони D(G) фазога чизиқли ва узлуксиз акслантирувчи функционал бўлиши бевосита келиб чиқади. Шунга кўра, ихтиёрий f(x),g(x) (G)  учун
( бўлиб, агар (G) фазода k   да (x) 0 бўлса, у ҳолда ( ) фазода k   да (Ay  b)  0 бўлади.
a(x) бўлсин.  ( a(x)) умумлашган функцияни (c,d) фазодаги
(2)
лимит формуласи билан аниқлаймиз, бунда –“шапкача” функциясидир.
a(x) функция яккаланган ва , k=1,2,... оддий нолларга эга бўлсин. Бу ҳолда функция фазода мавжуд бўлади ва
(3) йиғинди орқали тасвирланади.
Бўлакларни ямаш ҳақидаги теоремага кўра, (3) тенгликни локал исботлаш, яъни ҳар бир нуқтанинг етарлича кичик атрофида исботлаш етарлидир. D( ) бўлиб, бунда ( ) интервалда a(x) функция монотон функция бўладиган қилиб етарлича кичик танланган бўлсин. У ҳолда тенгликни ёзамиз. Агар D( , ) бўлиб, бунда (, ) интервал a(x) функциянинг , k=1,2,... нолларини сақламаса, у ҳолда
бўлади. Кўриниб турибдики, ( ) интерваллардаги локал элементлар тенг ва (,) интервалдаги локал элемент 0 бўлади. Бўлакларни ямаш ҳақидаги теоремага кўра, (3) формула исбот бўлди.
Мисол. а)  + ;
a) тенгликлар ўринли бўлади.